Suponha um dado onde uma face tem o número 1 , duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha agora que esse mesmo dado seja lançado até sair a face com o número 1. Para esse novo experimento defina as seguintes variáveis aleatórias:
W= o número de vezes que o dado foi lançado até o final do experimento.
Z= o número de saídas iguais à 3 .
(e) Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório (W, Z).
Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório (W, Z). Depois, fazendo associações com o que aprendemos em Probabilidade II, encontre a função de probabilidade em alguns desses valores. Por último, tente encontrar uma regra geral para a função de probabilidade conjunta.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem um dado “viciado” com
• P(1)=1/6, P(2)=2/6=1/3, P(3)=3/6=1/2
e ele é jogado até aparecer o “1” pela primeira vez. Definimos
• W = número total de lançamentos até sair o “1” (incluindo o lançamento que deu 1)
• Z = quantas vezes saiu “3” nesse processo inteiro.
Conteúdo da matéria: distribuição geométrica (parada no primeiro sucesso) + ideia de contagem de tipos de “falhas” (aqui 2 ou 3) — que cai em binomial/multinomial. Para resolver, vamos:
  1. descobrir quais pares (w,z) fazem sentido;
  2. calcular alguns exemplos;
  3. generalizar pra fórmula geral.

Passo 2

Imagem (suporte) de (W,Z):
• W pode ser 1,2,3,… (não tem limite superior, pois teoricamente podemos rolar infinitas vezes até sair 1).
• Z é o número de 3’s nas primeiras W–1 jogadas (antes do sucesso), então Z ∈ {0,1,2,…,W–1}.

Passo 3

Vamos ver alguns casos pra “pegar a manha”:
  1. w=1 → parou logo de cara, então não teve chance de tirar 3:
    • Z=0 forçado.
    • P(W=1,Z=0) = P(lançar 1 na primeira vez) = 1/6.
  2. w=2 → o “1” saiu no segundo lançamento, então no primeiro saiu 2 ou 3.
    – Se Z=0: primeiro foi “2”, depois “1”: P = P(2)·P(1) = (1/3)·(1/6)=1/18.
    – Se Z=1: primeiro foi “3”, depois “1”: P = P(3)·P(1) = (1/2)·(1/6)=1/12.
  3. w=3 → “1” só no terceiro lance, então nos dois primeiros você pode ter 0,1 ou 2 vezes o “3”.
    – Por exemplo, Z=1: um dos dois primeiros foi 3 e o outro foi 2. Como a ordem importa, tem 2 formas:
    P = 2·P(3)·P(2)·P(1) = 2·(1/2)·(1/3)·(1/6) = 2·(1/36)=1/18.

Passo 4

Agora a regra geral:
  1. Para a gente parar exatamente no w-ésimo lançamento, nos primeiros w–1 lançamentos não pode sair 1, e no w-ésimo sai 1. A prob de falhar (não sair 1) em cada tentativa é P(2)+P(3)=1/3+1/2=5/6, mas como a gente quer separar 2’s e 3’s, tratamos direto por contagem.
  2. Entre esses w–1 “falhos” queremos z vezes o “3” e (w–1–z) vezes o “2”. As posições desses z lançamentos de “3” podem ser escolhidas de boxed P(W=w,,Z=z) =binomw-1z,l(tfrac12r)^z,l(tfrac13r)^,w-1-z,l(tfrac16r), formas.
  3. Cada sequência vale w=1,2,3,dots e z=0,1,dots,w-1 . E por fim no lançamento w a gente tem .
Logo a probabilidade conjunta é
válida para

Resposta

P(W=w, Z=z) =binomw-1z,l(tfrac12r)^z,l(tfrac13r)^,w-1-z,l(tfrac16r), w>=1,;0<= z<= w-1

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