Suponha um dado onde uma face tem o número 1 , duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha agora que esse mesmo dado seja lançado até sair a face com o número 1. Para esse novo experimento defina as seguintes variáveis aleatórias:
o número de vezes que o dado foi lançado até o final do experimento.
o número de saídas iguais à 3 .
(e) Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório
.
Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório
. Depois, fazendo associações com o que aprendemos em Probabilidade II, encontre a função de probabilidade em alguns desses valores. Por último, tente encontrar uma regra geral para a função de probabilidade conjunta.
(e) Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório
Dica: Primeiro defina a imagem do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem um dado “viciado” com
• P(1)=1/6, P(2)=2/6=1/3, P(3)=3/6=1/2
e ele é jogado até aparecer o “1” pela primeira vez. Definimos
• W = número total de lançamentos até sair o “1” (incluindo o lançamento que deu 1)
• Z = quantas vezes saiu “3” nesse processo inteiro.
• P(1)=1/6, P(2)=2/6=1/3, P(3)=3/6=1/2
e ele é jogado até aparecer o “1” pela primeira vez. Definimos
• W = número total de lançamentos até sair o “1” (incluindo o lançamento que deu 1)
• Z = quantas vezes saiu “3” nesse processo inteiro.
Conteúdo da matéria: distribuição geométrica (parada no primeiro sucesso) + ideia de contagem de tipos de “falhas” (aqui 2 ou 3) — que cai em binomial/multinomial. Para resolver, vamos:
- descobrir quais pares (w,z) fazem sentido;
- calcular alguns exemplos;
- generalizar pra fórmula geral.
Passo 2
Imagem (suporte) de (W,Z):
• W pode ser 1,2,3,… (não tem limite superior, pois teoricamente podemos rolar infinitas vezes até sair 1).
• Z é o número de 3’s nas primeiras W–1 jogadas (antes do sucesso), então Z ∈ {0,1,2,…,W–1}.
• W pode ser 1,2,3,… (não tem limite superior, pois teoricamente podemos rolar infinitas vezes até sair 1).
• Z é o número de 3’s nas primeiras W–1 jogadas (antes do sucesso), então Z ∈ {0,1,2,…,W–1}.
Passo 3
Vamos ver alguns casos pra “pegar a manha”:
-
w=1 → parou logo de cara, então não teve chance de tirar 3:
• Z=0 forçado.
• P(W=1,Z=0) = P(lançar 1 na primeira vez) = 1/6. -
w=2 → o “1” saiu no segundo lançamento, então no primeiro saiu 2 ou 3.
– Se Z=0: primeiro foi “2”, depois “1”: P = P(2)·P(1) = (1/3)·(1/6)=1/18.
– Se Z=1: primeiro foi “3”, depois “1”: P = P(3)·P(1) = (1/2)·(1/6)=1/12. -
w=3 → “1” só no terceiro lance, então nos dois primeiros você pode ter 0,1 ou 2 vezes o “3”.
– Por exemplo, Z=1: um dos dois primeiros foi 3 e o outro foi 2. Como a ordem importa, tem 2 formas:
P = 2·P(3)·P(2)·P(1) = 2·(1/2)·(1/3)·(1/6) = 2·(1/36)=1/18.
Passo 4
Agora a regra geral:
- Para a gente parar exatamente no w-ésimo lançamento, nos primeiros w–1 lançamentos não pode sair 1, e no w-ésimo sai 1. A prob de falhar (não sair 1) em cada tentativa é P(2)+P(3)=1/3+1/2=5/6, mas como a gente quer separar 2’s e 3’s, tratamos direto por contagem.
- Entre esses w–1 “falhos” queremos z vezes o “3” e (w–1–z) vezes o “2”. As posições desses z lançamentos de “3” podem ser escolhidas de
formas. - Cada sequência vale
. E por fim no lançamento w a gente tem .
Logo a probabilidade conjunta é
válida para