Exercício 3.3.8. Suponha que os engenheiros de tráfego tenham coordenado a temporização de dois faróis para encorajar uma sequência de faróis verdes. Em particular, a temporização foi projetada de modo que, com probabilidade 0,8 um motorista encontre o segundo farol com a mesma cor do primeiro. Assumindo que o primeiro farol seja verde ou vermelho com a mesma probabilidade,
a) Calcule a probabilidade de que o segundo farol seja verde.
b) Calcule a probabilidade condicional de que o primeiro farol seja verde, dado que o segundo é vermelho.

Passo 1

O enunciado trata de duas variáveis aleatórias representando a cor do primeiro e do segundo farol, e pede (a) a probabilidade de o segundo farol ser verde e (b) a probabilidade condicional de o primeiro ter sido verde dado que o segundo é vermelho. O conteúdo aqui é aplicação da fórmula da probabilidade total e do Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
;G1: “primeiro farol é verde”
;R1: “primeiro farol é vermelho”
;G2: “segundo farol é verde”
;R2: “segundo farol é vermelho”
Como o primeiro farol é verde ou vermelho com mesma probabilidade,
Pr(G1)=Pr(R1)=0,5
Pela coordenação, com probabilidade 0,8 o segundo farol tem a mesma cor do primeiro. Logo,
Pr(G2mid G1)=0,8, Pr(R2mid R1)=0,8,
e, invertendo,
Pr(G2mid R1)=0,2 e Pr(R2mid G1)=0,2.

Passo 3

Para (a), usamos a fórmula da probabilidade total em relação ao estado do primeiro farol:
Pr(G2) =Pr(G2mid G1)Pr(G1)+Pr(G2mid R1)Pr(R1) =0,8cdot0,5+0,2cdot0,5=0,5

Passo 4

Para (b), queremos Pr(G1mid R2). Aplicamos o Teorema de Bayes:
Pr(G1mid R2) =Pr(R2mid G1)Pr(G1)Pr(R2)
Já sabemos Pr(R2mid G1)=0,2 e Pr(G1)=0,5. Além disso,
Pr(R2)=1-Pr(G2)=1-0,5=0,5
Substituindo,
Pr(G1mid R2) =0,2cdot0,50,5=0,2

Resposta

(a) 0,5
(b) 0,2

Exercícios relacionados