Exercício 3.3.8. Suponha que os engenheiros de tráfego tenham coordenado a temporização de dois faróis para encorajar uma sequência de faróis verdes. Em particular, a temporização foi projetada de modo que, com probabilidade 0,8 um motorista encontre o segundo farol com a mesma cor do primeiro. Assumindo que o primeiro farol seja verde ou vermelho com a mesma probabilidade,
a) Calcule a probabilidade de que o segundo farol seja verde.
b) Calcule a probabilidade condicional de que o primeiro farol seja verde, dado que o segundo é vermelho.
a) Calcule a probabilidade de que o segundo farol seja verde.
b) Calcule a probabilidade condicional de que o primeiro farol seja verde, dado que o segundo é vermelho.
Passo 1
O enunciado trata de duas variáveis aleatórias representando a cor do primeiro e do segundo farol, e pede (a) a probabilidade de o segundo farol ser verde e (b) a probabilidade condicional de o primeiro ter sido verde dado que o segundo é vermelho. O conteúdo aqui é aplicação da fórmula da probabilidade total e do Teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos os eventos:
: “primeiro farol é verde”
: “primeiro farol é vermelho”
: “segundo farol é verde”
: “segundo farol é vermelho”
Como o primeiro farol é verde ou vermelho com mesma probabilidade,
Pela coordenação, com probabilidade
o segundo farol tem a mesma cor do primeiro. Logo,
e, invertendo,
e
.
Passo 3
Para (a), usamos a fórmula da probabilidade total em relação ao estado do primeiro farol:
Passo 4
Para (b), queremos
. Aplicamos o Teorema de Bayes:
Já sabemos
e
. Além disso,
Substituindo,
Resposta
(a)
(b)
(b)