Exercício 8 Suponha que X\) tenha f.d.p dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{1}{8} x & \text { se } 0<x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Ache o valor de t tal que (\mathbb{P}(X \leq t)=1 / 4];

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{8}x & \text{se } 0<x\le 4,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é: achar o valor de t\] tal que \(\mathbb{P}(X\le t)=\dfrac{1}{4}.]

Passo 2

Primeiro, lembro o que é a f.d.p. e a função de distribuição acumulada (CDF). A f.d.p. f_X(x) dá a “densidade” de probabilidade; a CDF F(x) é definida por
F(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(u)\,du.
Para variáveis contínuas como esta, \mathbb{P}(X\le t)=\mathbb{P}(X<t), então podemos usar a CDF sem preocupação.

Passo 3

Vamos calcular a CDF em cada região do eixo, usando a f.d.p. dada.
Para x\le 0 a densidade é zero, logo
F(x)=0\quad\text{se }x\le 0.
Para 0<x\le 4 a CDF é a integral de f_X de 0 até x (porque para valores menores que 0 a densidade é zero):
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(u)\,du = \int_{0}^{x} \frac{1}{8}u\,du.
Calculo essa integral passo a passo: a primitiva de u é \dfrac{u^2}{2}. Assim,
\int_{0}^{x} \frac{1}{8}u\,du = \frac{1}{8}\left[\frac{u^2}{2}\right]_{0}^{x} = \frac{1}{8}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{16}.
Portanto
F(x)=\frac{x^2}{16}\quad\text{se }0<x\le 4.
Para x>4 toda a massa está acumulada, então
F(x)=1\quad\text{se }x>4.

Passo 4

Agora impomos a condição pedida: \mathbb{P}(X\le t)=\dfrac{1}{4}, ou seja F(t)=\dfrac{1}{4}. Como a probabilidade pedida é menor que 1 e maior que 0, o t procurado está no intervalo (0,4], então usamos a expressão F(t)=\dfrac{t^2}{16}. Assim:
\frac{t^2}{16}=\frac{1}{4}.
Multiplicando ambos os lados por 16,
t^2 = 16\cdot\frac{1}{4}=4.
Tomando raiz quadrada obtemos duas soluções numéricas, t=\pm 2. Mas lembrando o suporte da variável (só faz sentido 0<x\le 4), descartamos t=-2. Portanto a solução válida é t=2.

Passo 5

Cheque rápido: calcular F(2) pela fórmula F(x)=x^2/16
F(2)=\frac{2^2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4},
confirmando que t=2 é correto.

Passo 6

Observação útil para a prova: para quantis em geral, se q\in(0,1) e quiser t tal que \mathbb{P}(X\le t)=q, resolva \dfrac{t^2}{16}=q, ou seja
t=4\sqrt{q},
sempre lembrando de ficar no suporte (0,4]. No caso q=\dfrac{1}{4} isso dá t=4\sqrt{\tfrac{1}{4}}=4\cdot\tfrac{1}{2}=2.

Resposta

t=2

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