Exercício 8 Suponha que
Ache o valor de t tal que (\mathbb{P}(X \leq t)=1 / 4];
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de
A pergunta é: achar o valor de
.]
Passo 2
Primeiro, lembro o que é a f.d.p. e a função de distribuição acumulada (CDF). A f.d.p.
dá a “densidade” de probabilidade; a CDF
é definida por
Para variáveis contínuas como esta,
, então podemos usar a CDF sem preocupação.
Passo 3
Vamos calcular a CDF em cada região do eixo, usando a f.d.p. dada.
Para
a densidade é zero, logo
Para
a CDF é a integral de
de
até
(porque para valores menores que 0 a densidade é zero):
Calculo essa integral passo a passo: a primitiva de
é
. Assim,
Portanto
Para
toda a massa está acumulada, então
Passo 4
Agora impomos a condição pedida:
, ou seja
. Como a probabilidade pedida é menor que 1 e maior que 0, o
procurado está no intervalo
, então usamos a expressão
. Assim:
Multiplicando ambos os lados por
,
Tomando raiz quadrada obtemos duas soluções numéricas,
. Mas lembrando o suporte da variável (só faz sentido
), descartamos
. Portanto a solução válida é
.
Passo 5
Cheque rápido: calcular
pela fórmula
dá
confirmando que
é correto.
Passo 6
Observação útil para a prova: para quantis em geral, se
e quiser
tal que
, resolva
, ou seja
sempre lembrando de ficar no suporte
. No caso
isso dá
.