No exercício 3, suponha que a incerteza do valor da constante elástica de cada mola seja de 1% e ambas as molas possuam a mesma constante k. Qual será a incerteza das combinações indicadas (série e paralelo)?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas molas idênticas com constante elástica k e incerteza relativa de cada uma \delta k/k=1\%. Queremos encontrar a incerteza relativa da constante equivalente quando elas são ligadas em série e em paralelo, usando a propagação de erros. Para uma função f(x,y) com incertezas \delta x e \delta y em variáveis independentes, vale
\delta f = \sqrt{\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y\Bigr)^2}\,.

Passo 2

Para as molas em série, a constante equivalente é
k_{\mathrm{eq},s}=\frac{k_1\,k_2}{k_1+k_2}\,.
Como k_1=k_2=k, temos k_{\mathrm{eq},s}=k/2. Em vez de diferenciar diretamente, é mais fácil usar derivadas logarítmicas:
\ln k_{\mathrm{eq},s}=\ln k_1+\ln k_2-\ln(k_1+k_2)\,.
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\frac{\partial\ln k_{\mathrm{eq},s}}{\partial\ln k_1} =1-\frac{k_1}{k_1+k_2} =1-\tfrac12=\tfrac12, \quad \frac{\partial\ln k_{\mathrm{eq},s}}{\partial\ln k_2}=\tfrac12.
A incerteza relativa então é
\frac{\delta k_{\mathrm{eq},s}}{k_{\mathrm{eq},s}} =\sqrt{\Bigl(\tfrac12\frac{\delta k_1}{k_1}\Bigr)^2 +\Bigl(\tfrac12\frac{\delta k_2}{k_2}\Bigr)^2} =\sqrt{2\Bigl(\tfrac12\cdot1\%\Bigr)^2} =\frac{1\%}{\sqrt{2}} \approx0,707\%.

Passo 3

Para as molas em paralelo, a constante equivalente é
k_{\mathrm{eq},p}=k_1+k_2=2k.
Aqui vale
\frac{\partial k_{\mathrm{eq},p}}{\partial k_1}=1, \quad \frac{\partial k_{\mathrm{eq},p}}{\partial k_2}=1,
e as incertezas em k_1 e k_2 somam em quadratura:
\delta k_{\mathrm{eq},p} =\sqrt{(\delta k_1)^2+(\delta k_2)^2} =\sqrt{2}\,\delta k \quad\Longrightarrow\quad \frac{\delta k_{\mathrm{eq},p}}{k_{\mathrm{eq},p}} =\frac{\sqrt{2}\,\delta k}{2k} =\frac{1\%}{\sqrt{2}} \approx0,707\%.

Resposta

A incerteza relativa é aproximadamente 0,707\% tanto na combinação em série quanto na combinação em paralelo.

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