5- Suponha que tenham sido criados 2 grupos de 2 molas de mesma constante elástica (k) colocadas em série. Estes 2 grupos foram colocados em paralelo. Qual o valor da
constante elástica resultante? Suponha que a incerteza do valor do k de cada mola seja 1% (valores independentes). Qual o valor da incerteza da combinação?

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro molas idênticas, cada uma com constante elástica \,k e incerteza relativa de 1\%, arranjadas em dois ramos iguais de duas molas em série, e então esses dois ramos colocados em paralelo. Queremos (1) a constante elástica equivalente \,k_{\rm eq} e (2) a incerteza relativa de \,k_{\rm eq}.

Passo 2

Para duas molas de constantes \,k_1 e \,k_2 em série, a constante equivalente \,k_s satisfaz
\frac1{k_s} \;=\;\frac1{k_1}+\frac1{k_2}
Logo,
k_s \;=\;\frac{k_1\,k_2}{\,k_1+k_2\,}.
Como as duas molas de cada série são idênticas k_1=k_2=k, temos
k_s \;=\;\frac{k\cdot k}{\,k+k\,} \;=\;\frac{k^2}{2k} \;=\;\frac{k}{2}.

Passo 3

Agora esses dois ramos, cada um com constante k_s=k/2, estão em paralelo. Para constantes em paralelo, somamos:
k_{\rm eq} \;=\;k_s + k_s \;=\;\frac{k}{2}+\frac{k}{2} \;=\;k.

Passo 4

Concluímos então que a constante elástica resultante é
k_{\rm eq} \;=\;k.

Passo 5

Para achar a incerteza de k_{\rm eq}, usamos propagação de erros. Denotemos as constantes individuais por k_1,k_2,k_3,k_4 (cada uma com desvio padrão \sigma_k=0,01\,k), e escrevamos
k_{\rm eq} \;=\;\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\;+\;\frac{k_3k_4}{k_3+k_4}.
Em primeira ordem, a variância de k_{\rm eq} é
\sigma_{k_{\rm eq}}^2 =\sum_{i=1}^4\Bigl(\frac{\partial k_{\rm eq}}{\partial k_i}\Bigr)^{2}\,\sigma_k^2.
Calculando em k_i=k,
\frac{\partial}{\partial k_1}\!\Bigl(\tfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}\Bigr) =\frac{k_2^2}{(k_1+k_2)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial k_s}{\partial k_1}\Big|_{k_1=k_2=k} =\frac{k^2}{(2k)^2}=\frac14,
e de modo idêntico cada \partial k_{\rm eq}/\partial k_i=1/4. Portanto
\sigma_{k_{\rm eq}}^2 =4\Bigl(\tfrac14\Bigr)^2\sigma_k^2 =\frac14\,\sigma_k^2 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{k_{\rm eq}}=\frac12\,\sigma_k.
Como \sigma_k=0,01\,k, obtemos
\sigma_{k_{\rm eq}}=0,5\%\;k_{\rm eq}.

Resposta

A constante elástica resultante é k_{\rm eq}=k e sua incerteza relativa é de 0{,}5\%.

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