6- Na caracterização de uma mola de tração, foram obtidos os pontos experimentais de força e deslocamento indicados na tabela abaixo. Responda:
a) A mola obedece a Lei de Hooke ? Em qual região?
b) Na região linear da mola, qual é sua constante elástica?
c) Estime a incerteza associada ao valor obtido em b), sabendo-se que as incertezas nas medidas de força são de 0,5% e de deslocamento, 1% .
Força (N) Deslocamento (mm)
0 0
1 10
2 21
5 55
8 90
14 150
15 180

Passo 1

O enunciado nos dá uma tabela de força F versus deslocamento \Delta x de uma mola de tração e pede:
– verificar se ela obedece à Lei de Hooke e em qual região;
– determinar sua constante elástica k na região linear;
– estimar a incerteza em k, sabendo que as incertezas nas medidas são \pm0{,}5\% em F e \pm1\% em \Delta x.
O conteúdo é aplicação da Lei de Hooke F = k\,\Delta x, análise de linearidade e propagação de incertezas.

Passo 2

Para verificar a linearidade, calculamos os quocientes F/\Delta x para cada ponto e vemos onde eles são aproximadamente constantes:
\begin{array}{cc|c} F\\ (\text{N}) & \Delta x\\ (\text{mm}) & F/\Delta x\\ (\text{N/mm})\\hline 1 & 10 & 0{,}100\\\\ 2 & 21 & 0{,}0952\\\\ 5 & 55 & 0{,}0909\\\\ 8 & 90 & 0{,}0889 \end{array}
Os três primeiros valores (até F=5\\ \text{N}) variam pouco entre si, indicando região linear até cerca de 5\\ \text{N} (ou \Delta x\approx55\\ \text{mm}). Depois disso o quociente começa a divergir um pouco mais. Logo, a mola obedece à Lei de Hooke para 0 \le F \lesssim 5\\ \text{N}.

Passo 3

Na região linear F=0,1,2,5\\ \text{N}, fazemos ajuste linear pelo método dos mínimos quadrados forçando a reta passar por zero:
k \;=\;\frac{\sum_i F_i\,\Delta x_i}{\sum_i (\Delta x_i)^2} =\frac{1\cdot10 + 2\cdot21 +5\cdot55}{10^2 +21^2 +55^2} =\frac{327}{3566}\approx0{,}0917\\ \text{N/mm}.
Convertendo para N/m 1\\ \text{N/mm}=1000\\ \text{N/m}:
k \approx 91{,}7\\ \text{N/m}.

Passo 4

Para k = F/\Delta x, a incerteza relativa acumula as de F e de \Delta x:
\frac{\Delta k}{k} =\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta F}{F}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\Delta (\Delta x)}{\Delta x}\Bigr)^{2}} =\sqrt{(0{,}005)^{2}+(0{,}01)^{2}} \approx0{,}0112\quad(1{,}12\%).
Logo, a incerteza absoluta em k é
\Delta k = k \times 0{,}0112 \approx0{,}0917\\ \text{N/mm}\times0{,}0112 \approx0{,}0010\\ \text{N/mm}
ou em N/m, \Delta k\approx1{,}0\\ \text{N/m}.

Resposta

a) Sim, a mola obedece à Lei de Hooke para 0 \le F \lesssim 5\\ \text{N}.
b) k \approx 0{,}0917\\ \text{N/mm} (ou 91{,}7\\ \text{N/m}).
c) Incerteza em k: \Delta k \approx 0{,}0010\\ \text{N/mm} (ou \pm1{,}0\\ \text{N/m}).

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