Exercício 2. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamente para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja X o número de exercícios resolvidos por ele na prova.
a) Qual a distribuição de X ?
b) Qual a probabilidade do aluno resolver pelo menos 5 exercícios da prova.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • O aluno estudou 12 exercícios no total.
    • Desses, ele sabe resolver 9 exercícios e não sabe resolver 3 exercícios.
    • O professor vai escolher 6 exercícios aleatoriamente para a prova.
    • A variável aleatória X é o número de exercícios que o aluno sabe resolver entre os 6 escolhidos.
  • Perguntas pedidas:
    a) Qual é a distribuição de X?
    b) Qual é a probabilidade de o aluno resolver pelo menos 5 exercícios na prova, isto é, P(X\ge 5)?

Passo 2

Raciocínio sobre todos os resultados igualmente possíveis (contagem total):
Quando o professor escolhe 6 de 12 exercícios sem ordem, o número total de subconjuntos possíveis é dado por combinações:
\binom{12}{6}.
Explicando a combinação: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} conta de quantas maneiras podemos escolher k objetos entre n sem considerar ordem. Aqui é o total de provas possíveis (todas igualmente prováveis).

Passo 3

Como contar os casos favoráveis a um valor específico X=k:
Se queremos exatamente k exercícios que o aluno sabe entre os 6, precisamos:
  • escolher k exercícios entre os 9 que ele sabe: \binom{9}{k};
  • escolher os 6-k exercícios restantes entre os 3 que ele não sabe: \binom{3}{6-k}.
Como as escolhas são independentes (escolher os conhecidos e os desconhecidos combinados formam a prova), o número de subconjuntos que têm exatamente k exercícios que ele sabe é
\binom{9}{k}\binom{3}{6-k}.

Passo 4

Montando a fórmula da probabilidade (hipergeométrica):
A probabilidade de X=k é (casos favoráveis dividido pelo total):
P(X=k)=\frac{\binom{9}{k}\binom{3}{6-k}}{\binom{12}{6}}.
Agora os valores possíveis de k: não pode ser menor que 0 nem maior que 6, nem maior que 9 (pois só há 9 conhecidos), nem maior que 6 por serem 6 escolhidos. Também, como só há 3 desconhecidos, entre os 6 escolhidos no máximo 3 podem ser desconhecidos, então o mínimo de conhecidos é 6-3=3. Assim o suporte é k\in\{3,4,5,6\}.
Observação: essa é a distribuição hipergeométrica com parâmetros população N=12, número de “sucessos” na população K=9, e número de retiradas n=6.

Passo 5

Vamos calcular os valores necessários para responder (parte b). Primeiro o denominador:
\binom{12}{6}=924.
Expliquei: esse é o total de maneiras de escolher 6 entre 12.

Passo 6

Calcular P(X=5):
P(X=5)=\frac{\binom{9}{5}\binom{3}{1}}{\binom{12}{6}}.
Agora calcular combinações:
\binom{9}{5}=126 e \binom{3}{1}=3. Assim o numerador é 126\cdot 3=378. Então
P(X=5)=\frac{378}{924}=\frac{9}{22}.
(A redução: dividir numerador e denominador por 42 378/924=9/22.)

Passo 7

Calcular P(X=6):
P(X=6)=\frac{\binom{9}{6}\binom{3}{0}}{\binom{12}{6}}.
Aqui \binom{9}{6}=84 e \binom{3}{0}=1. Logo
P(X=6)=\frac{84}{924}=\frac{1}{11}.

Passo 8

Agora P(X\ge 5)=P(X=5)+P(X=6). Somando as frações obtidas:
P(X\ge 5)=\frac{9}{22}+\frac{1}{11}=\frac{9}{22}+\frac{2}{22}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}.
Em decimal isso é 0{,}5.

Resposta

a) X tem distribuição hipergeométrica com
P(X=k)=\frac{\binom{9}{k}\binom{3}{6-k}}{\binom{12}{6}},\quad k\in\{3,4,5,6\}.
b) P(X\ge 5)=\dfrac{1}{2}.

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