Exercício 2. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamente para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja
o número de exercícios resolvidos por ele na prova.
a) Qual a distribuição de
?
b) Qual a probabilidade do aluno resolver pelo menos 5 exercícios da prova.
a) Qual a distribuição de
b) Qual a probabilidade do aluno resolver pelo menos 5 exercícios da prova.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações fornecidas:
- O aluno estudou
exercícios no total. - Desses, ele sabe resolver
exercícios e não sabe resolver exercícios. - O professor vai escolher
exercícios aleatoriamente para a prova. - A variável aleatória
é o número de exercícios que o aluno sabe resolver entre os escolhidos.
- O aluno estudou
-
Perguntas pedidas:
a) Qual é a distribuição de?
b) Qual é a probabilidade de o aluno resolver pelo menosexercícios na prova, isto é, ?
Passo 2
Raciocínio sobre todos os resultados igualmente possíveis (contagem total):
Quando o professor escolhe de
exercícios sem ordem, o número total de subconjuntos possíveis é dado por combinações:
Quando o professor escolhe
Explicando a combinação:
conta de quantas maneiras podemos escolher
objetos entre
sem considerar ordem. Aqui é o total de provas possíveis (todas igualmente prováveis).
Passo 3
Como contar os casos favoráveis a um valor específico
:
Se queremos exatamente exercícios que o aluno sabe entre os
, precisamos:
Se queremos exatamente
- escolher
exercícios entre os que ele sabe: ; - escolher os
exercícios restantes entre os que ele não sabe: .
Como as escolhas são independentes (escolher os conhecidos e os desconhecidos combinados formam a prova), o número de subconjuntos que têm exatamente
exercícios que ele sabe é
Passo 4
Montando a fórmula da probabilidade (hipergeométrica):
A probabilidade de é (casos favoráveis dividido pelo total):
A probabilidade de
Agora os valores possíveis de
: não pode ser menor que
nem maior que
, nem maior que
(pois só há
conhecidos), nem maior que
por serem
escolhidos. Também, como só há
desconhecidos, entre os
escolhidos no máximo
podem ser desconhecidos, então o mínimo de conhecidos é
. Assim o suporte é
.
Observação: essa é a distribuição hipergeométrica com parâmetros população
, número de “sucessos” na população
, e número de retiradas
.
Passo 5
Vamos calcular os valores necessários para responder (parte b). Primeiro o denominador:
Expliquei: esse é o total de maneiras de escolher 6 entre 12.
Passo 6
Calcular
:
Agora calcular combinações:
e
. Assim o numerador é
. Então
(A redução: dividir numerador e denominador por
dá
.)
Passo 7
Calcular
:
Aqui
e
. Logo
Passo 8
Agora
. Somando as frações obtidas:
Em decimal isso é
.
Resposta
a)
tem distribuição hipergeométrica com
b)
.