Exercício 5: Suponha um plano infinito, de espessura desprezível, carregado com uma densidade superficial de cargas
uniforme.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico em todo o espaço.
(b) Por que a lei de Gauss é prática nesse caso?
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico em todo o espaço.
(b) Por que a lei de Gauss é prática nesse caso?
Passo 1
O enunciado fala de um plano infinito, de espessura desprezível, com densidade de carga superficial uniforme
. O conteúdo é eletrostática, mais especificamente o uso da lei de Gauss para explorar a alta simetria do campo gerado por esse plano. Vamos precisar reconhecer que o campo elétrico deve ser perpendicular ao plano e constante em módulo em cada lado, e escolher uma superfície gaussiana adequada para aplicar
Passo 2
Pela simetria de um plano infinito carregado, o campo elétrico
só pode depender da distância normal ao plano e deve apontar exatamente na direção perpendicular a ele. Não há componente tangencial e o valor de
é o mesmo em qualquer ponto a uma dada distância do plano.
Passo 3
Escolhemos como superfície gaussiana um “pílula” (cilindro ou paralelepípedo) que atravessa o plano, de área de base
em cada lado, de modo que suas faces planas fiquem paralelas ao plano carregado. A única contribuição de fluxo será pelas duas faces planas, pois o campo é paralelo às faces laterais e não cruza ali.
Passo 4
Pela lei de Gauss,
Como o campo tem módulo constante em cada face e forma ângulo zero com
, o fluxo total é
A carga contida na pílula é
. Logo
A direção de
é afastando-se do plano se
, e aproximando-se se
.
Resposta
(a) Para a região acima do plano (
):
.
Para a região abaixo do plano ( ):
.
Para a região abaixo do plano (
(b) A lei de Gauss é prática aqui devido à simetria infinita do plano, que torna o campo uniforme e perpendicular. Com isso, basta escolher uma superfície gaussiana cujas faces fiquem paralelas ao plano, transformando o cálculo do fluxo em uma simples conta algébrica.