Exercício 5: Suponha um plano infinito, de espessura desprezível, carregado com uma densidade superficial de cargas sigma uniforme.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico em todo o espaço.
(b) Por que a lei de Gauss é prática nesse caso?

Passo 1

O enunciado fala de um plano infinito, de espessura desprezível, com densidade de carga superficial uniforme sigma. O conteúdo é eletrostática, mais especificamente o uso da lei de Gauss para explorar a alta simetria do campo gerado por esse plano. Vamos precisar reconhecer que o campo elétrico deve ser perpendicular ao plano e constante em módulo em cada lado, e escolher uma superfície gaussiana adequada para aplicar

Passo 2

Pela simetria de um plano infinito carregado, o campo elétrico E só pode depender da distância normal ao plano e deve apontar exatamente na direção perpendicular a ele. Não há componente tangencial e o valor de lvertErvert é o mesmo em qualquer ponto a uma dada distância do plano.

Passo 3

Escolhemos como superfície gaussiana um “pílula” (cilindro ou paralelepípedo) que atravessa o plano, de área de base A em cada lado, de modo que suas faces planas fiquem paralelas ao plano carregado. A única contribuição de fluxo será pelas duas faces planas, pois o campo é paralelo às faces laterais e não cruza ali.

Passo 4

Pela lei de Gauss,
Phi = oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0
Como o campo tem módulo constante em cada face e forma ângulo zero com dA, o fluxo total é
Phi = E,A + E,A = 2EA
A carga contida na pílula é Qint = sigma,A. Logo
2,E,A = sigma,Avarepsilon0 Longrightarrow E = sigma2,varepsilon0
A direção de E é afastando-se do plano se sigma>0, e aproximando-se se sigma<0.

Resposta

(a) Para a região acima do plano ( z>0):
E = sigma2varepsilon0,hat z.
Para a região abaixo do plano ( z<0):
E = -sigma2varepsilon0,hat z.
(b) A lei de Gauss é prática aqui devido à simetria infinita do plano, que torna o campo uniforme e perpendicular. Com isso, basta escolher uma superfície gaussiana cujas faces fiquem paralelas ao plano, transformando o cálculo do fluxo em uma simples conta algébrica.

Exercícios relacionados