Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear definida por:
T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 z) .
(a) o operador linear T é um automorfismo? Justifique sua resposta.
(b) sejam B e C, respectivamente, bases dos subespaços \operatorname{Nucl}(T) e \operatorname{Im}(T) encontradas no item (b). Determine bases \bar{B} e \bar{C} do espaço vetorial \mathbb{R}^{3} tais que B \subset \bar{B} e C \subset \bar{C}.
(c) encontre a matriz de mudança de base P do operador linear T relativa as base \bar{B} e \bar{C}.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
  • Dada a transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y-z,\; 2y+4z).
  • Perguntas:
    (a) T é um automorfismo? Justifique.
    (b) Sejam B e C, respectivamente, bases dos subespaços \operatorname{Nucl}(T) e \operatorname{Im}(T) encontradas no item (a). Determine bases \bar{B} e \bar{C} de \mathbb{R}^3 tais que B\subset\bar{B} e C\subset\bar{C}.
    (c) Encontre a matriz de mudança de base P do operador T relativa às bases \bar{B} (domínio) e \bar{C} (contradomínio).\n
  • Informações dadas: a expressão de T(x,y,z) acima.

Passo 2

Represento T pela matriz A relativa à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculando as imagens dos vetores-canônicos:\n
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,0,0),
T(e_2)=T(0,1,0)=(1,1,2),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0,-1,4).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 4 \end{pmatrix},
onde a coluna j é T(e_j).]

Passo 3

(a) Para decidir se T é automorfismo (isto é, bijetiva/invertível), calculo o determinante de A. Uso expansão por co-fatores na primeira linha:\n
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-(-1)\cdot2=4+2=6,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4-(-1)\cdot0=0.
Logo
\det(A)=2\cdot6-1\cdot0=12.
Como \det(A)=12\neq 0, a matriz é invertível e, portanto, T é um automorfismo (bijetiva).\
Consequências úteis:
  • \operatorname{Nucl}(T)=\{0\} (kernel trivial).
  • \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (imagem é todo \mathbb{R}^3), e o posto é 3.]

Passo 4

(b) Primeiro escolho bases B e C dos subespaços encontrados:\n
  • Como \operatorname{Nucl}(T)=\{0\}, a base B do núcleo é o conjunto vazio \varnothing. (Explicação curta: o subespaço zero é gerado por nenhum vetor e esse conjunto vazio é linearmente independente e gera \{0\}.)\n
  • Como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 e já vimos que as colunas de A são imagens dos vetores-canônicos, posso tomar como base de \operatorname{Im}(T) o conjunto formado por essas colunas:
C=\{\,T(e_1),\;T(e_2),\;T(e_3)\,\}=\{(2,0,0),\;(1,1,2),\;(0,-1,4)\}.
Estas três vetores são linearmente independentes porque \det(A)\neq0, portanto C é uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 5

(b) (continuação) Agora preciso escolher bases \bar{B} e \bar{C} de \mathbb{R}^3 tais que B\subset\bar{B} e C\subset\bar{C}.\n
  • Como B=\varnothing, qualquer base de \mathbb{R}^3 contém B. Vou escolher a base canônica para \bar{B}:
\bar{B}=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Assim B\subset\bar{B} (vazio é subconjunto de todo conjunto).\n
  • Como C já é uma base de \mathbb{R}^3, basta tomar
\bar{C}=C=\{(2,0,0),\;(1,1,2),\;(0,-1,4)\},
de modo que C\subset\bar{C} (igualdade neste caso).

Passo 6

(c) Definição e cálculo da matriz P de T relativa às bases \bar{B} (domínio) e \bar{C} (contradomínio):\n
  • A coluna j da matriz P=[T]_{\bar{C}\leftarrow\bar{B}} é a coordenada do vetor T(b_j) (onde b_j é o j-ésimo vetor de \bar{B}) em relação à base \bar{C}.\n
  • Como escolhemos \bar{B}=\{e_1,e_2,e_3\} e \bar{C}=\{T(e_1),T(e_2),T(e_3)\}, temos para cada j:
T(e_j)=\text{ o }j\text{-ésimo vetor de }\bar{C}.é
Logo as coordenadas de T(e_j) em relação a \bar{C} são exatamente os vetores-canônicos em \mathbb{R}^3: a coordenada de T(e_1) é (1,0,0), de T(e_2) é (0,1,0), de T(e_3) é (0,0,1).\n
Portanto a matriz P é a matriz identidade 3\times3:
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Sim. \det(A)=12\neq0, logo T é um automorfismo.\n
(b) B=\varnothing. \quad C=\{(2,0,0),\;(1,1,2),\;(0,-1,4)\}. \quad \bar{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}. \quad \bar{C}=C.\n
(c) P=I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

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