Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear definida por:
T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 z) .
(a) o operador linear T é um automorfismo? Justifique sua resposta.
(b) sejam B e C, respectivamente, bases dos subespaços \operatorname{Nucl}(T) e \operatorname{Im}(T) encontradas no item (b). Determine bases \bar{B} e \bar{C} do espaço vetorial \mathbb{R}^{3} tais que B \subset \bar{B} e C \subset \bar{C}.
(c) encontre a matriz de mudança de base P do operador linear T relativa as base \bar{B} e \bar{C}.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Dada a transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(2x+y,\; y-z,\; 2y+4z).
Perguntas:
(a) T é um automorfismo? Justifique.
(b) Sejam B e C, respectivamente, bases dos subespaços \operatorname{Nucl}(T) e \operatorname{Im}(T) encontradas no item (a). Determine bases \bar{B} e \bar{C} de \mathbb{R}^3 tais que B\subset\bar{B} e C\subset\bar{C}.
(c) Encontre a matriz de mudança de base P do operador T relativa às bases \bar{B} (domínio) e \bar{C} (contradomínio).\n
Informações dadas: a expressão de T(x,y,z) acima.
Passo 2
Represento T pela matriz A relativa à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculando as imagens dos vetores-canônicos:\n
Como \det(A)=12\neq 0, a matriz é invertível e, portanto, T é um automorfismo (bijetiva).\
Consequências úteis:
\operatorname{Nucl}(T)=\{0\} (kernel trivial).
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (imagem é todo \mathbb{R}^3), e o posto é 3.]
Passo 4
(b) Primeiro escolho bases B e C dos subespaços encontrados:\n
Como \operatorname{Nucl}(T)=\{0\}, a base B do núcleo é o conjunto vazio \varnothing. (Explicação curta: o subespaço zero é gerado por nenhum vetor e esse conjunto vazio é linearmente independente e gera \{0\}.)\n
Como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 e já vimos que as colunas de A são imagens dos vetores-canônicos, posso tomar como base de \operatorname{Im}(T) o conjunto formado por essas colunas:
Assim B\subset\bar{B} (vazio é subconjunto de todo conjunto).\n
Como C já é uma base de \mathbb{R}^3, basta tomar
\bar{C}=C=\{(2,0,0),\;(1,1,2),\;(0,-1,4)\},
de modo que C\subset\bar{C} (igualdade neste caso).
Passo 6
(c) Definição e cálculo da matriz P de T relativa às bases \bar{B} (domínio) e \bar{C} (contradomínio):\n
A coluna j da matriz P=[T]_{\bar{C}\leftarrow\bar{B}} é a coordenada do vetor T(b_j) (onde b_j é o j-ésimo vetor de \bar{B}) em relação à base \bar{C}.\n
Como escolhemos \bar{B}=\{e_1,e_2,e_3\} e \bar{C}=\{T(e_1),T(e_2),T(e_3)\}, temos para cada j:
T(e_j)=\text{ o }j\text{-ésimo vetor de }\bar{C}.é
Logo as coordenadas de T(e_j) em relação a \bar{C} são exatamente os vetores-canônicos em \mathbb{R}^3: a coordenada de T(e_1) é (1,0,0), de T(e_2) é (0,1,0), de T(e_3) é (0,0,1).\n
Portanto a matriz P é a matriz identidade 3\times3:
(a) Sim. \det(A)=12\neq0, logo T é um automorfismo.\n
(b) B=\varnothing. \quad C=\{(2,0,0),\;(1,1,2),\;(0,-1,4)\}. \quad \bar{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}. \quad \bar{C}=C.\n