Exercício 2. Prove ou forneça um contraexemplo: se v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} geram V, então a lista
v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}
também gera V.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado que quatro vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} geram um espaço vetorial V, a lista de três vetores
v_{1}-v_{2},\quad v_{2}-v_{3},\quad v_{3}-v_{4}
também gera V. O conteúdo envolve geradores de espaços vetoriais e testes de independência/geração.

Passo 2

Como contraexemplo, tome
V = \mathbb{R}^4,
e escolha
v_{1}=e_{1},\quad v_{2}=e_{2},\quad v_{3}=e_{3},\quad v_{4}=e_{4},
onde \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} é a base canônica de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} geram \mathbb{R}^4 porque são exatamente a base canônica.

Passo 4

Agora examine uma combinação linear arbitrária dos vetores
v_{1}-v_{2},\quad v_{2}-v_{3},\quad v_{3}-v_{4}.
Para quaisquer escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R},
\alpha(v_{1}-v_{2})+\beta(v_{2}-v_{3})+\gamma(v_{3}-v_{4}) =\alpha e_{1}+(-\alpha+\beta)e_{2}+(-\beta+\gamma)e_{3}+(-\gamma)e_{4}.
Chamando esse vetor de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), nota-se que
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =\alpha+(-\alpha+\beta)+(-\beta+\gamma)+(-\gamma)=0.
Logo todo vetor no subespaço gerado tem soma de coordenadas igual a zero, ou seja, é de dimensão 3 e não preenche \mathbb{R}^4.

Resposta

A afirmação é falsa. O contraexemplo em \mathbb{R}^4 mostra que \{v_{1}-v_{2},v_{2}-v_{3},v_{3}-v_{4}\} não gera todo V.

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