Exercício 2. Prove ou forneça um contraexemplo: se
geram
, então a lista
também gera
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado que quatro vetores
geram um espaço vetorial
, a lista de três vetores
também gera
. O conteúdo envolve geradores de espaços vetoriais e testes de independência/geração.
Passo 2
Como contraexemplo, tome
e escolha
onde
é a base canônica de
.
Passo 3
Os vetores
geram
porque são exatamente a base canônica.
Passo 4
Agora examine uma combinação linear arbitrária dos vetores
Para quaisquer escalares
,
Chamando esse vetor de
, nota-se que
Logo todo vetor no subespaço gerado tem soma de coordenadas igual a zero, ou seja, é de dimensão 3 e não preenche
.
Resposta
A afirmação é falsa. O contraexemplo em
mostra que
não gera todo
.