3- O tempo que uma máquina leva a executar certa operacão em cada peça produzida é sujeita a variaçōes. Para verificar se as condiçōes de funcionamento estão dentro das normas, registrou-se 12 vezes o referido tempo. Os resultados (em segundos) foram os seguintes:
a. Teste a afirma \begin{array}{llllllllllll}29 & 33 & 36 & 35 & 36 & 40 & 32 & 37 & 31 & 35 & 30 & 36\end{array} segundos, com nível de signi tempo médio de execução da máquina é de 35
b. Construa um intervalo de confiança a 99% para o desvio padrão do tempo de execução da tarefa pela máquina em análise.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=12 dos tempos (em segundos)
29,\;33,\;36,\;35,\;36,\;40,\;32,\;37,\;31,\;35,\;30,\;36
e pede duas coisas:
  1. Testar, ao nível de significância \alpha=5\%, a hipótese nula
H_0:\mu=35
contra a alternativa
H_1:\mu\neq35
para o tempo médio de execução.
2. Construir um intervalo de confiança de 99\% para o desvio padrão \sigma do tempo de execução.

Passo 2

Calculemos as estatísticas amostrais. A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}x_i=\frac{410}{12}\approx34{,}17\\ \text{s}
e a variância amostral (dividida por n-1) é
s^2=\frac{1}{11}\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2 =\frac{113{,}6891}{11}\approx10{,}34,
logo o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{10{,}34}\approx3{,}21\\ \text{s}.

Passo 3

Para testar H_0:\mu=35 usamos o teste t de Student, com estatística
t =\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{34{,}17-35}{3{,}21/\sqrt{12}} \approx-0{,}90.
Com \nu=n-1=11 graus de liberdade, o valor crítico bilateral para \alpha=5\% é \pm t_{0{,}975;11}\approx\pm2{,}201. Como
|t|=0{,}90<2{,}201,
não rejeitamos H_0. Ou seja, não há evidência estatística para afirmar que o tempo médio difere de 35 s.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 99\% para \sigma usamos a distribuição \chi^2 com \nu=11. Os quantis são aproximadamente
\chi^2_{0{,}005;11}\approx2{,}54, \quad \chi^2_{0{,}995;11}\approx26{,}82.
O intervalo de confiança é dado por
\left[ \sqrt{\frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{0{,}995;11}}}\;,\; \sqrt{\frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{0{,}005;11}}} \right].
Substituindo (n-1)s^2=113{,}6891, obtemos
\mathrm{LI} =\sqrt{\frac{113{,}6891}{26{,}82}}\approx2{,}06, \quad \mathrm{LS} =\sqrt{\frac{113{,}6891}{2{,}54}}\approx6{,}69.

Resposta

(a) Estatística t\approx-0{,}90, |t|<2{,}201, logo não rejeitamos H_0; não há evidência de que \mu\neq35 s ao nível de 5\%.
(b) Intervalo de confiança de 99\% para \sigma:
(2{,}06\\ \text{s},\;6{,}69\\ \text{s}).

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