Questão 4 - Mackenzie-SP

6 refrigerantes diferentes devem ser distribuídos entre 2 pessoas, de modo que cada pessoa receba 3 refrigerantes. O número de formas de se fazer isso é:
  • a) 12
  • b) 18
  • c) 24
  • d) 15
  • e) 20

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 6 refrigerantes diferentes (ou seja, todos distintos).
  • 2 pessoas distintas que vão receber os refrigerantes.
  • Cada pessoa deve receber exatamente 3 refrigerantes.
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes isso pode ser feito?

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que conta como uma maneira diferente. Como os refrigerantes são todos distintos e as pessoas são distintas (por exemplo, pessoa A e pessoa B), uma distribuição é determinada exatamente pelo conjunto de 3 refrigerantes que vai para a pessoa A (os restantes vão automaticamente para a pessoa B). Então o problema é escolher um subconjunto de tamanho 3 a partir de 6 elementos, sem se importar com a ordem dentro desse subconjunto.

Passo 3

A operação “escolher k elementos dentre n distintos, sem ordem” é chamada de combinação e o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui n é o total de objetos e k é o número a escolher.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso, temos n=6 e k=3. Assim
\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}.
Vamos calcular passo a passo: 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720 e 3!=3\cdot2\cdot1=6. Então
\binom{6}{3}=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: cada escolha de 3 refrigerantes para a pessoa A determina totalmente a distribuição (os 3 restantes vão para a pessoa B). Não dividimos por 2 porque as pessoas são distintas; se as pessoas fossem indistinguíveis (não rotuladas), aí sim dividiríamos por 2 e obteríamos 10. Como aqui as pessoas são distintas, o número final permanece 20.

Resposta

(e) 20

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