Questão 5 - Fatec-SP
Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os alojamentos da Vila Olímpica eram pra quatro pessoas, e um deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era:
- a) 675
- b) 450
- c) 270
- d) 60
- e) 16
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, com calma para a gente não se perder.
-
Informações dadas:
- País
tem atletas. - País
tem atletas. - Um alojamento de
pessoas foi ocupado por exatamente atletas de e atletas de .
- País
-
O que o enunciado pede:
- O número de maneiras distintas de formar esse grupo de
atletas (ou seja, quantas combinações diferentes de atletas de junto com atletas de podem ser escolhidas).
- O número de maneiras distintas de formar esse grupo de
Passo 2
Entendendo a ideia de “combinações” e a fórmula que vamos usar (aquela que aparece em praticamente todas as provas).
Quando a ordem não importa (um grupo de atletas é um conjunto, não uma fila), a contagem de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos é dada pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é
.
Explicando em palavras: conta quantos subconjuntos diferentes de tamanho
existem em um conjunto de
elementos, sem considerar ordem.
Explicando em palavras:
Passo 3
Aplicando a fórmula para escolher os
atletas do país
. Aqui
e
, então
Simplificando sem calcular fatorial gigante: escrevemos apenas os dois maiores fatores do numerador
Portanto há
maneiras de escolher os
atletas de
.
Passo 4
Agora vamos escolher os
atletas do país
. Aqui
e
, então
Logo
maneiras de escolher os
atletas de
.
Passo 5
Agora interpretar como combinar as escolhas de
com as de
.
As escolhas são independentes: para cada escolha de
atletas de
(cada uma das
possibilidades) posso combinar com qualquer escolha de
atletas de
(cada uma das
possibilidades). Pela regra do produto (princípio fundamental da contagem), o total de grupos é o produto desses números:
Passo 6
Calcule o produto de forma simples:
Portanto existem
maneiras distintas de formar esse alojamento com
atletas de
e
de
.
Passo 7
Cheque rápido da intuição: escolher dois entre 10 e dois entre 6 e multiplicar faz sentido porque a escolha de um país não restringe a escolha do outro além da contagem já feita. Os números intermediários batem com cálculos simples (
e
), e o produto
é compatível com a alternativa (a).
Resposta
a) 675