Questão 5 - Fatec-SP

Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os alojamentos da Vila Olímpica eram pra quatro pessoas, e um deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era:
  • a) 675
  • b) 450
  • c) 270
  • d) 60
  • e) 16

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, com calma para a gente não se perder.
  • Informações dadas:
    • País A tem 10 atletas.
    • País B tem 6 atletas.
    • Um alojamento de 4 pessoas foi ocupado por exatamente 2 atletas de A e 2 atletas de B.
  • O que o enunciado pede:
    • O número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas (ou seja, quantas combinações diferentes de 2 atletas de A junto com 2 atletas de B podem ser escolhidas).

Passo 2

Entendendo a ideia de “combinações” e a fórmula que vamos usar (aquela que aparece em praticamente todas as provas).
Quando a ordem não importa (um grupo de atletas é um conjunto, não uma fila), a contagem de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos é dada pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1.
Explicando em palavras: \binom{n}{k} conta quantos subconjuntos diferentes de tamanho k existem em um conjunto de n elementos, sem considerar ordem.

Passo 3

Aplicando a fórmula para escolher os 2 atletas do país A. Aqui n=10 e k=2, então
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}.
Simplificando sem calcular fatorial gigante: escrevemos apenas os dois maiores fatores do numerador
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2\cdot1\cdot8!}=\frac{10\cdot9}{2}=5\cdot9=45.
Portanto há \binom{10}{2}=45 maneiras de escolher os 2 atletas de A.

Passo 4

Agora vamos escolher os 2 atletas do país B. Aqui n=6 e k=2, então
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\cdot5}{2}=3\cdot5=15.
Logo \binom{6}{2}=15 maneiras de escolher os 2 atletas de B.

Passo 5

Agora interpretar como combinar as escolhas de A com as de B.
As escolhas são independentes: para cada escolha de 2 atletas de A (cada uma das 45 possibilidades) posso combinar com qualquer escolha de 2 atletas de B (cada uma das 15 possibilidades). Pela regra do produto (princípio fundamental da contagem), o total de grupos é o produto desses números:
\text{total}=\binom{10}{2}\times\binom{6}{2}=45\times15.

Passo 6

Calcule o produto de forma simples:
45\times15=45\times(10+5)=45\cdot10+45\cdot5=450+225=675.
Portanto existem 675 maneiras distintas de formar esse alojamento com 2 atletas de A e 2 de B.

Passo 7

Cheque rápido da intuição: escolher dois entre 10 e dois entre 6 e multiplicar faz sentido porque a escolha de um país não restringe a escolha do outro além da contagem já feita. Os números intermediários batem com cálculos simples ( 45 e 15), e o produto 675 é compatível com a alternativa (a).

Resposta

a) 675

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