Exercício 5. Considere uma caixa com 100 fichas, sendo que 20 fichas tem valor um, 20 fichas tem valor cinco e 60 fichas tem valor dez.
(a) Se uma ficha for sorteada ao acaso e definindo-se X como o valor da ficha sorteada, qual a esperança, a mediana e a moda de X ?
(b) Se uma das fichas de valor um da caixa tiver seu valor trocado para 1000, qual dentre as 3 medidas de tendência central sofrerá maior modificação? Recalcule as medidas do item anterior para comprovar a resposta.
(c) Qual o desvio padrão nos dois casos (caixa original e caixa modificada)?

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória discreta X que assume valores 1, 5 ou 10 com probabilidades dadas pela proporção de fichas numa caixa de 100 unidades. Precisamos calcular as medidas de tendência central (esperança, mediana e moda) e, depois, refazer esses cálculos se uma ficha de valor 1 for trocada por uma de valor 1000. Por fim, determinamos o desvio padrão nos dois cenários usando definição de variância.

Passo 2

Para o caso original temos
P(X=1)=\tfrac{20}{100}=0,2,\quad P(X=5)=\tfrac{20}{100}=0,2,\quad P(X=10)=\tfrac{60}{100}=0,6.
A esperança é
E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i) =1\cdot0,2+5\cdot0,2+10\cdot0,6 =0,2+1+6 =7,2.

Passo 3

A mediana de uma distribuição discreta é o menor valor m tal que P(X\le m)\ge0,5. Calculamos a CDF:
P(X\le1)=0,2,\quad P(X\le5)=0,2+0,2=0,4,\quad P(X\le10)=1.
Como só em x=10 a probabilidade acumulada ultrapassa 0,5, a mediana é 10.

Passo 4

A moda é o valor com maior massa de probabilidade. Como P(X=10)=0,6 é o maior, a moda é 10.

Passo 5

No caso modificado passamos a ter:
P(X=1)=\tfrac{19}{100}=0,19,\; P(X=5)=0,2,\; P(X=10)=0,6,\; P(X=1000)=\tfrac{1}{100}=0,01.
A nova esperança é
E(X)=1\cdot0,19+5\cdot0,2+10\cdot0,6+1000\cdot0,01 =0,19+1+6+10 =17,19.

Passo 6

Para a nova mediana calculamos
P(X\le1)=0,19,\quad P(X\le5)=0,39,\quad P(X\le10)=0,99,\quad P(X\le1000)=1.
Logo a mediana continua sendo 10. A moda também permanece 10. Dessas medidas, apenas a esperança mudou (de 7,2 para 17,19).

Passo 7

No caso original calculamos
E(X^2)=1^2\cdot0,2+5^2\cdot0,2+10^2\cdot0,6 =0,2+5+60 =65,2,
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =65,2-(7,2)^2 =65,2-51,84 =13,36,
\sigma_{\text{original}}=\sqrt{13,36}\approx3,655.

Passo 8

No caso modificado temos
E(X^2)=1^2\cdot0,19+5^2\cdot0,2+10^2\cdot0,6+1000^2\cdot0,01 =0,19+5+60+10000 =10065,19,
\operatorname{Var}(X)=10065,19-(17,19)^2 =10065,19-295,4961 \approx9769,6939,
\sigma_{\text{modificado}}=\sqrt{9769,6939}\approx98,84.

Resposta

(a) E(X)=7,2; mediana =10; moda =10.
(b) A esperança sofre a maior mudança (de 7,2 para 17,19); a mediana e a moda continuam iguais a 10.
(c) Desvio padrão original \approx3,655; desvio padrão modificado \approx98,84.

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