Exercício 5. Considere uma caixa com 100 fichas, sendo que 20 fichas tem valor um, 20 fichas tem valor cinco e 60 fichas tem valor dez.
(a) Se uma ficha for sorteada ao acaso e definindo-se
como o valor da ficha sorteada, qual a esperança, a mediana e a moda de
?
(b) Se uma das fichas de valor um da caixa tiver seu valor trocado para 1000, qual dentre as 3 medidas de tendência central sofrerá maior modificação? Recalcule as medidas do item anterior para comprovar a resposta.
(c) Qual o desvio padrão nos dois casos (caixa original e caixa modificada)?
(a) Se uma ficha for sorteada ao acaso e definindo-se
(b) Se uma das fichas de valor um da caixa tiver seu valor trocado para 1000, qual dentre as 3 medidas de tendência central sofrerá maior modificação? Recalcule as medidas do item anterior para comprovar a resposta.
(c) Qual o desvio padrão nos dois casos (caixa original e caixa modificada)?
Passo 1
O enunciado descreve uma variável aleatória discreta
que assume valores
,
ou
com probabilidades dadas pela proporção de fichas numa caixa de
unidades. Precisamos calcular as medidas de tendência central (esperança, mediana e moda) e, depois, refazer esses cálculos se uma ficha de valor
for trocada por uma de valor
. Por fim, determinamos o desvio padrão nos dois cenários usando definição de variância.
Passo 2
Para o caso original temos
A esperança é
Passo 3
A mediana de uma distribuição discreta é o menor valor
tal que
. Calculamos a CDF:
Como só em
a probabilidade acumulada ultrapassa
, a mediana é
.
Passo 4
A moda é o valor com maior massa de probabilidade. Como
é o maior, a moda é
.
Passo 5
No caso modificado passamos a ter:
A nova esperança é
Passo 6
Para a nova mediana calculamos
Logo a mediana continua sendo
. A moda também permanece
. Dessas medidas, apenas a esperança mudou (de
para
).
Passo 7
No caso original calculamos
Passo 8
No caso modificado temos
Resposta
(a)
; mediana
; moda
.
(b) A esperança sofre a maior mudança (de para
); a mediana e a moda continuam iguais a
.
(c) Desvio padrão original ; desvio padrão modificado
.
(b) A esperança sofre a maior mudança (de
(c) Desvio padrão original