Exercício 1.

A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos de um colégio:
Notas F_{i}
0 \vdash 2
2 \vdash 4
4 \vdash 170
6 \vdash 130
8 \vdash 10
Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conforme suas notas, quais as notas limites de cada grupo?

Passo 1

O enunciado pede: dividir os 500 alunos em quatro grupos conforme suas notas e indicar as notas-limite de cada grupo (ou seja, os limites que separam os quartis).
As informações fornecidas na tabela são (peguei estes dados do enunciado):
  • Classes/intervalos de notas (escritas na tabela como “Notas”):
    • 0 \vdash 2
    • 2 \vdash 4
    • 4 \vdash 6
    • 6 \vdash 8
    • 8 \vdash (não informado no texto, presume-se 10 ou fim da escala)
  • Frequências associadas (coluna F_{i}, peguei estes números da tabela): 2,\;4,\;170,\;130,\;10.
O que se pede explicitamente:
  • Determinar as notas-limite que dividem os 500 alunos em quatro grupos iguais (cada grupo com 125 alunos), ou equivalentemente encontrar os quartis Q_1, Q_2 e Q_3.

Passo 2

Verificação imediata da consistência dos dados: a soma das frequências fornecidas deve ser igual a 500. Vou somar os números que vieram na tabela (peguei estes valores da tabela):
2 + 4 + 170 + 130 + 10 = 316 \neq 500.
Portanto os dados numéricos fornecidos na tabela são inconsistentes com o total declarado de 500 alunos.

Passo 3

Consequência dessa inconsistência: não é possível determinar corretamente as notas-limite dos quatro grupos com os números atuais, porque para localizar os quartis é essencial conhecer as frequências corretas de cada classe (ou, alternativamente, a distribuição completa dos 500 alunos). Sem uma frequência total que some 500 não há como saber em que classe caem as posições \dfrac{N}{4},\dfrac{N}{2},\dfrac{3N}{4} (neste caso \,125,250,375,). Logo, com os dados apresentados não há como calcular os limites solicitados.

Passo 4

Mesmo não podendo resolver com os dados fornecidos, vou ensinar passo a passo o método que se usa em provas para dividir a distribuição em quatro grupos (ou seja, calcular os quartis) quando os dados estão corretos. Esse é o procedimento que deve ser aplicado assim que as frequências corretas forem conhecidas.
  1. Objetivo: encontrar Q_1, Q_2 e Q_3 que separam a amostra em quatro partes de mesmo tamanho. Para N observações, as posições alvo são:
\text{posição de }Q_k = \frac{kN}{4},\quad k=1,2,3.çã
No caso N=500, as posições são \,125,\,250,\,375.
  1. Trabalhar com as frequências por classe:
  • Calcular as frequências acumuladas F_{\text{ac}} por classe (soma das frequências das classes até aquela).
  • Identificar em qual classe cai cada posição \dfrac{kN}{4}. Suponha que a posição caia na classe cuja frequência é f_c (frequência da classe do quartil) e cuja frequência acumulada imediatamente anterior é F_b (soma das frequências das classes estritamente anteriores).
  1. Fórmula de interpolação (método usual para distribuição por classes contínuas, assumindo distribuição uniforme dentro da classe):
Q_k = L + \frac{\frac{kN}{4} - F_b}{f_c}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe onde o quartil se encontra (por exemplo, para a classe 4\vdash6, L=4),
  • F_b é a frequência acumulada antes dessa classe,
  • f_c é a frequência da classe do quartil,
  • h é a amplitude (largura) da classe (por exemplo h=2 para classes de 0 a 2, 2 a 4, etc.),
  • \dfrac{kN}{4} é a posição do quartil desejado.
Explicação das variáveis (para ficar claro):
  • \dfrac{kN}{4} é “quantos” alunos precisamos contar para alcançar o quartil;
  • F_b é quantos alunos já foram contados antes da classe do quartil;
  • \dfrac{\frac{kN}{4}-F_b}{f_c} é a fração da classe que precisamos atravessar até atingir o quartil;
  • Multiplicando essa fração por h obtemos a distância dentro da classe; somando a L obtemos o valor da nota do quartil.
  1. Passos concretos na prova, quando os dados estiverem corretos:
  • Calcular as frequências acumuladas e localizar as posições 125,250,375.
  • Para cada posição, achar a classe onde ela cai, anotar L,F_b,f_c,h e aplicar a fórmula acima.
  • Recomenda-se mostrar todas as contas (cálculos de F_{\text{ac}}, identificação da classe, substituição na fórmula e resultado final).

Passo 5

Exemplo numérico completo (ilustrativo) para ver como aplicar, supondo uma distribuição corrigida e consistente. (isto é um exemplo adicional — não estou inventando dados para o problema original; é só para mostrar o método pronto para usar na prova):
Suponha as classes e frequências (exemplo fictício que soma 500):
  • 0\vdash2:\;50
  • 2\vdash4:\;100
  • 4\vdash6:\;150
  • 6\vdash8:\;100
  • 8\vdash10:\;100
Cumulativas: 50,\;150,\;300,\;400,\;500. Posições: 125,250,375.
  • Para \,Q_1 (posição 125): cai na classe 2\vdash4 porque a cumulativa antes dessa classe é 50 e após é 150. Aqui L=2,\;F_b=50,\;f_c=100,\;h=2. Então
Q_1 = 2 + \frac{125-50}{100}\cdot 2 = 2 + \frac{75}{100}\cdot 2 = 2 + 1{,}5 = 3{,}5.
  • Para \,Q_2 (mediana, posição 250): cai na classe 4\vdash6 com L=4,\;F_b=150,\;f_c=150,\;h=2. Então
Q_2 = 4 + \frac{250-150}{150}\cdot 2 = 4 + \frac{100}{150}\cdot 2 = 4 + \frac{2}{3}\cdot 2 = 4 + 1{,}333\ldots = 5{,}333\ldots
  • Para \,Q_3 (posição 375): cai na classe 6\vdash8 com L=6,\;F_b=300,\;f_c=100,\;h=2. Então
Q_3 = 6 + \frac{375-300}{100}\cdot 2 = 6 + \frac{75}{100}\cdot 2 = 6 + 1{,}5 = 7{,}5.
Esses seriam os limites (notas) que separam os quatro grupos no exemplo fictício. No problema real, proceder exatamente assim tão logo as frequências corretas (que somem 500) sejam conhecidas.

Resposta

Não é possível determinar as notas-limite: a soma das frequências fornecidas é 2+4+170+130+10=316, que é diferente de 500.

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