Em cada um dos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{aligned} y^{\prime}-y & =2 t e^{2 t} \\ y(0) & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y' - y = 2t\,e^{2t},\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
y' + p(t)\,y = g(t),
onde aqui p(t) = -1 e g(t) = 2t\,e^{2t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int (-1)\,dt} = e^{-t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t). O lado esquerdo fica
e^{-t}y' - e^{-t}y = \frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y\bigr),
e o lado direito fica
e^{-t}\cdot 2t\,e^{2t} = 2t\,e^{t}.
Logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y\bigr) = 2t\,e^{t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
e^{-t}y = \int 2t\,e^{t}\,dt + C.
Para calcular \displaystyle \int 2t\,e^{t}\,dt, usamos integração por partes ou a fórmula conhecida \int t e^{t}dt = (t-1)e^{t}. Assim,
\int 2t\,e^{t}\,dt = 2\bigl(t-1\bigr)e^{t} + C.

Passo 6

Isolando y:
e^{-t}y = 2(t-1)e^{t} + C \quad\Longrightarrow\quad y = e^{t}\bigl[2(t-1)e^{t} + C\bigr] = 2(t-1)e^{2t} + C\,e^{t}.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = 2(0-1)e^{0} + C\,e^{0} = -2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(t) = 2(t-1)e^{2t} + 3\,e^{t}}.

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