No referencial inercial S, dois eventos E_{1} e E_{2} são observados. O evento E_{1} ocorre em \left(x_{1}, t_{1}\right)=(0,0) e o evento E_{2} ocorre em (x \left.2, t_{2}\right)=\left(1.8 \times 10^{-8} \mathrm{~m}, 1,0 \mathrm{~s}\right). Um segundo referencial inercial S^{\prime} se move na direção positiva do eixo x com uma velocidade de v= 0.8 c em relação a S . Qual é a diferença de tempo (intervalo de tempo) \Delta \mathrm{t}^{\prime}=\mathrm{t}_{2}^{\prime}-\mathrm{t}^{\prime}{ }_{1} entre os dois eventos medida pelo observador no referencial S^{\prime} ?
(1.00 ponto)
\bigcirc a) 0,87 \mathrm{~s}
\bigcirc b) 2,47 \mathrm{~s}
\bigcirc c) 1,67 \mathrm{~s}
\bigcirc d) 1,78 \mathrm{~s}
\bigcirc e) NDE

Passo 1

O enunciado dá dois eventos observados no referencial inercial S e pede a diferença de tempo entre eles medida em S'. Dados fornecidos:
  • Evento E_{1}: \left(x_{1},t_{1}\right)=\left(0,0\right).
  • Evento E_{2}: \left(x_{2},t_{2}\right)=\left(1,8\times10^{-8}\\ \mathrm{m},\;1,0\\ \mathrm{s}\right). (Estou pegando o valor de x_{2} e t_{2} do enunciado.)
  • O referencial S' move-se em relação a S com velocidade v=0,8\,c na direção positiva do eixo x.
    Pergunta: qual é \Delta t' = t'_2 - t'_1, o intervalo de tempo entre os dois eventos medido em S'?

Passo 2

Vamos usar a transformação de tempo entre referenciais inerciais (fórmula a aplicar). A fórmula que relaciona as coordenadas tempo e espaço de um evento em S e em S' é
t'=\gamma\left(t-\dfrac{v\,x}{c^{2}}\right),
onde:
  • t' é o tempo do evento em S',
  • t é o tempo do evento em S,
  • x é a posição do evento em S,
  • v é a velocidade de S' em relação a S,
  • c é a velocidade da luz,
  • \gamma (fator gama) é dado por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\quad\text{com}\quad \beta=\dfrac{v}{c}.
Explicação didática rápida: a transformação acima diz que o tempo em S' é uma combinação do tempo e da posição em S; isso ocorre porque, em relatividade, eventos simultâneos em um referencial podem não ser simultâneos em outro. O fator \gamma corrige a escala temporal dependendo da velocidade relativa.

Passo 3

Calculemos \beta e \gamma. Como v=0,8\,c, temos
\beta=\dfrac{v}{c}=0,8.
Então
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0,8^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0,64}}=\dfrac{1}{\sqrt{0,36}}=\dfrac{1}{0,6}=1,666\ldots
Portanto \gamma=\dfrac{5}{3}\approx1,6667. (Aqui mostrei passo a passo como calcular \gamma.)

Passo 4

Calcule t'_1 para o evento E_{1}. Usando a fórmula com (x_{1},t_{1})=(0,0),
t'_1=\gamma\left(t_{1}-\dfrac{v\,x_{1}}{c^{2}}\right)=\gamma\left(0-\dfrac{v\cdot 0}{c^{2}}\right)=\gamma\cdot 0=0.
Portanto o primeiro evento ocorre em t'_1=0 no referencial S'. (Isto simplifica a diferença: \Delta t' = t'_2.)

Passo 5

Agora calcule t'_2 usando (x_{2},t_{2}). A fórmula dá
t'_2=\gamma\left(t_{2}-\dfrac{v\,x_{2}}{c^{2}}\right).
Substituindo v=0,8\,c fica
t'_2=\gamma\left(t_{2}-0,8\,\dfrac{x_{2}}{c}\right).
Expliquei a simplificação: \dfrac{v\,x_{2}}{c^{2}}=\dfrac{0,8c\cdot x_{2}}{c^{2}}=0,8\,\dfrac{x_{2}}{c}.

Passo 6

Calcule numericamente o termo \dfrac{x_{2}}{c}. Usando x_{2}=1,8\times10^{-8}\\ \mathrm{m} (valor do enunciado) e c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor usual aproximado),
\dfrac{x_{2}}{c}=\dfrac{1,8\times10^{-8}}{3,0\times10^{8}}\\ \mathrm{s}=6,0\times10^{-17}\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por 0,8:
0,8\,\dfrac{x_{2}}{c}=0,8\times 6,0\times10^{-17}\\ \mathrm{s}=4,8\times10^{-17}\\ \mathrm{s}.
Comentário: esse tempo é extremamente pequeno comparado a t_{2}=1,0\\ \mathrm{s}, então é desprezível numericamente, mas eu vou mantê-lo na conta e mostrar a aproximação.

Passo 7

Agora calcule o parêntese em t'_2:
t_{2}-0,8\,\dfrac{x_{2}}{c}=1,0\\ \mathrm{s}-4,8\times10^{-17}\\ \mathrm{s}=0,999\ldots\\ (\text{praticamente }1,0)\\ \mathrm{s}.
Mais precisamente é 1,0-4,8\times10^{-17}\\ \mathrm{s}, mas para todas as finalidades da conta isso é 1,0\\ \mathrm{s} dentro da precisão útil.

Passo 8

Multiplique pelo fator \gamma:
t'_2=\gamma\left(t_{2}-0,8\,\dfrac{x_{2}}{c}\right)\approx 1,666\ldots \times 1,0\\ \mathrm{s}=1,666\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando com duas casas decimais (coerente com as alternativas), temos
t'_2\approx 1,67\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Como t'_1=0, a diferença procurada é
\Delta t' = t'_2 - t'_1 = t'_2 \approx 1,67\\ \mathrm{s}.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 1,67\\ \mathrm{s}

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