Exercício 1 - Temperatura em uma placa metálica

Uma placa metálica retangular tem sua temperatura ( \mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C} ) modelada por T(x, y)=100-x^{2}-2 y^{2}, onde x e y são as coordenadas em metros, com origem no canto inferior esquerdo.
Você se encontra no ponto P=(2,1).
(a) Calcule as derivadas parciais T_{x} e T_{y} no ponto P. Interprete o significado físico de cada uma.
(b) Determine o vetor gradiente \nabla T em P e calcule seu comprimento. O que esse vetor indica sobre a direção de maior aquecimento e sobre a taxa máxima de aquecimento? ,
(c) Calcule a derivada direcional de T em P na direção do vetor \mathbf{v}=(1,1). Interprete o resultado.
(d) Com base nos experimentos iniciais, explique por que a direção do gradiente é a de maior aquecimento e a direção oposta é a de maior resfriamento.

Passo 1

O enunciado e os dados obrigatórios que temos são os seguintes (peguei todos do enunciado):
  • A temperatura na placa é dada por T(x,y)=100-x^{2}-2y^{2}, em ^\circ\mathrm{C}.
  • As coordenadas x e y estão em metros e a origem fica no canto inferior esquerdo.
  • O ponto onde estamos é P=(2,1).
  • O exercício pede:
    (a) calcular as derivadas parciais T_x e T_y em P e interpretar fisicamente cada uma;
    (b) determinar o vetor gradiente \nabla T em P e o seu comprimento, e interpretar a direção de maior aquecimento e a taxa máxima de aquecimento;
    (c) calcular a derivada direcional de T em P na direção do vetor \mathbf{v}=(1,1) e interpretar o resultado;
    (d) explicar por que a direção do gradiente é a de maior aquecimento e a direção oposta é a de maior resfriamento.

Passo 2

Conceito e cálculo das derivadas parciais: a derivada parcial de T em relação a x, denotada T_x, mede a taxa de variação de T quando se varia x mantendo y fixo. Analogamente T_y mede a taxa quando se varia y mantendo x fixo. Isso é útil fisicamente: indica o quanto a temperatura muda por metro ao mover-se apenas na direção x (ou apenas na direção y).
Calculemos as derivadas parciais simbólicas:
T(x,y)=100-x^{2}-2y^{2}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
T_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(100-x^{2}-2y^{2}\big)=-2x.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
T_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(100-x^{2}-2y^{2}\big)=-4y.
Agora avaliamos em P=(2,1):
T_x(2,1)=-2\cdot 2=-4, \qquad T_y(2,1)=-4\cdot 1=-4.
Unidades: essas derivadas têm unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Interpretação física direta: em P,
  • T_x(2,1)=-4\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} significa que, se eu me mover uma pequena distância \Delta x no sentido positivo de x mantendo y constante, a temperatura muda aproximadamente -4\Delta x\\ \!^\circ\mathrm{C}: isto é, diminui 4\\ ^\circ\mathrm{C} por metro movendo-se para +x.
  • T_y(2,1)=-4\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} significa que, se eu me mover uma pequena distância \Delta y no sentido positivo de y mantendo x constante, a temperatura muda aproximadamente -4\Delta y\\ \!^\circ\mathrm{C}: isto é, diminui 4\\ ^\circ\mathrm{C} por metro movendo-se para +y.

Passo 3

Definição e cálculo do gradiente: o gradiente de T é o vetor formado pelas derivadas parciais,
\nabla T(x,y)=\big(T_x(x,y),\,T_y(x,y)\big).
Avaliado em P:
\boxed{\nabla T(2,1)=\big(-4,\,-4\big).}
Unidade do vetor: ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} em cada componente.
Comprimento (norma) do gradiente: a norma eu calculo como
\|\nabla T(2,1)\|=\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Interpretação física do gradiente e da sua norma:
  • O vetor \nabla T(2,1)=(-4,-4) aponta na direção de maior aumento de temperatura partindo de P. Mesmo que suas componentes sejam negativas, isso indica que a temperatura aumenta se eu me mover na direção em que x e y diminuem (isto é, direção (-1,-1)).
  • A taxa máxima de aumento da temperatura, ao mover-se na direção unitária do gradiente, é exatamente o comprimento \|\nabla T(2,1)\|=4\sqrt{2}\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}. Em outras palavras, se eu andar 1 metro na direção do vetor (-4,-4) (mais precisamente na sua direção unitária), a temperatura sobe cerca de 4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Para ficar mais explícito: a direção unitária do maior aquecimento é
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla T(2,1)}{\|\nabla T(2,1)\|}=\frac{(-4,-4)}{4\sqrt{2}}=\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).á

Passo 4

Derivada direcional na direção \mathbf{v}=(1,1): primeiro precisamos da direção unitária associada a \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},\qquad \mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).
A derivada direcional de T em P na direção \mathbf{u} é o produto escalar entre \nabla T(2,1) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T(2,1)=\nabla T(2,1)\cdot\mathbf{u}=(-4,-4)\cdot\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big) =\frac{-4-4}{\sqrt{2}}=\frac{-8}{\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Interpretação: movendo-se a partir de P na direção (1,1) (isto é, aumentando x e y simultaneamente na mesma taxa), a temperatura diminui à taxa de 4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C} por metro. O sinal negativo confirma que essa direção é de resfriamento local.

Passo 5

Por que a direção do gradiente dá o maior aquecimento (e a oposta o maior resfriamento):
  • Fórmula-chave: para qualquer direção unitária \mathbf{u}, a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}T(2,1)=\nabla T(2,1)\cdot\mathbf{u}=\|\nabla T(2,1)\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla T(2,1) e \mathbf{u}. Essa é apenas a identidade do produto escalar: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta, com \|\mathbf{u}\|=1.
  • Como \cos\theta varia entre -1 e 1, o produto \|\nabla T\|\cos\theta atinge seu máximo quando \cos\theta=1, isto é, quando \theta=0 (direção de \mathbf{u} coincidente com \nabla T). O valor máximo é então +\|\nabla T\|.
  • O valor mínimo possível (maior resfriamento) ocorre quando \cos\theta=-1, isto é, \theta=\pi (direção oposta ao gradiente), e o valor é -\|\nabla T\|.
  • Intuição geométrica: o gradiente é o vetor cujas componentes dizem “quanto muda por metro” nas direções coordenadas; projetando esse vetor sobre qualquer direção \mathbf{u} obtém-se exatamente a taxa de variação nessa direção. A projeção é máxima quando a direção é a mesma do vetor (projeta-se todo o comprimento) e mínima quando é oposta (projeta-se com sinal negativo todo o comprimento).
Exemplo numérico simples (reaproveitando nossos números): \|\nabla T(2,1)\|=4\sqrt{2}. Assim a maior subida possível é +4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} na direção \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big), e a maior queda possível é -4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} na direção \big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big). Isso bate com o cálculo da derivada direcional no Passo 4, que deu -4\sqrt{2} para a direção (1,1).

Resposta

(a) T_x(2,1)=-4\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\;T_y(2,1)=-4\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}. Interpretação: mover-se 1 m no sentido +x (com y fixo) ou 1 m no sentido +y (com x fixo) reduz a temperatura em 4\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) \nabla T(2,1)=(-4,-4)\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},\;\|\nabla T(2,1)\|=4\sqrt{2}\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}. Interpretação: a direção de maior aquecimento é \big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big) (sentido de diminuir x e y) e a taxa máxima de aquecimento é 4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
(c) D_{\mathbf{u}}T(2,1)=-4\sqrt{2}\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} para \mathbf{v}=(1,1) (usando \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|). Interpretação: movendo-se na direção (1,1) a temperatura diminui à taxa 4\sqrt{2}\\ ^\circ\mathrm{C} por metro.
(d) Porque para qualquer direção unitária \mathbf{u} vale D_{\mathbf{u}}T=\nabla T\cdot\mathbf{u}=\|\nabla T\|\cos\theta; esse valor é máximo quando \cos\theta=1 (direção de \nabla T) e mínimo quando \cos\theta=-1 (direção oposta), logo o gradiente aponta para o maior aquecimento e a direção oposta para o maior resfriamento.

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