Exercício 1 - Temperatura em uma placa metálica
Uma placa metálica retangular tem sua temperatura (
) modelada por
, onde
e
são as coordenadas em metros, com origem no canto inferior esquerdo.
Você se encontra no ponto
.
(a) Calcule as derivadas parciais
e
no ponto
. Interprete o significado físico de cada uma.
(b) Determine o vetor gradiente
em
e calcule seu comprimento. O que esse vetor indica sobre a direção de maior aquecimento e sobre a taxa máxima de aquecimento? ,
(c) Calcule a derivada direcional de
em
na direção do vetor
. Interprete o resultado.
(d) Com base nos experimentos iniciais, explique por que a direção do gradiente é a de maior aquecimento e a direção oposta é a de maior resfriamento.
(a) Calcule as derivadas parciais
(b) Determine o vetor gradiente
(c) Calcule a derivada direcional de
(d) Com base nos experimentos iniciais, explique por que a direção do gradiente é a de maior aquecimento e a direção oposta é a de maior resfriamento.
Passo 1
O enunciado e os dados obrigatórios que temos são os seguintes (peguei todos do enunciado):
- A temperatura na placa é dada por
, em . - As coordenadas
e estão em metros e a origem fica no canto inferior esquerdo. - O ponto onde estamos é
. - O exercício pede:
(a) calcular as derivadas parciaise em e interpretar fisicamente cada uma;
(b) determinar o vetor gradienteem e o seu comprimento, e interpretar a direção de maior aquecimento e a taxa máxima de aquecimento;
(c) calcular a derivada direcional deem na direção do vetor e interpretar o resultado;
(d) explicar por que a direção do gradiente é a de maior aquecimento e a direção oposta é a de maior resfriamento.
Passo 2
Conceito e cálculo das derivadas parciais: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, mede a taxa de variação de
quando se varia
mantendo
fixo. Analogamente
mede a taxa quando se varia
mantendo
fixo. Isso é útil fisicamente: indica o quanto a temperatura muda por metro ao mover-se apenas na direção
(ou apenas na direção
).
Calculemos as derivadas parciais simbólicas:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Agora avaliamos em
:
Unidades: essas derivadas têm unidade
.
Interpretação física direta: em
,
-
significa que, se eu me mover uma pequena distância no sentido positivo de mantendo constante, a temperatura muda aproximadamente : isto é, diminui por metro movendo-se para . -
significa que, se eu me mover uma pequena distância no sentido positivo de mantendo constante, a temperatura muda aproximadamente : isto é, diminui por metro movendo-se para .
Passo 3
Definição e cálculo do gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais,
Avaliado em
:
Unidade do vetor:
em cada componente.
Comprimento (norma) do gradiente: a norma eu calculo como
Interpretação física do gradiente e da sua norma:
- O vetor
aponta na direção de maior aumento de temperatura partindo de . Mesmo que suas componentes sejam negativas, isso indica que a temperatura aumenta se eu me mover na direção em que e diminuem (isto é, direção ). - A taxa máxima de aumento da temperatura, ao mover-se na direção unitária do gradiente, é exatamente o comprimento
. Em outras palavras, se eu andar 1 metro na direção do vetor (mais precisamente na sua direção unitária), a temperatura sobe cerca de .
Para ficar mais explícito: a direção unitária do maior aquecimento é
Passo 4
Derivada direcional na direção
: primeiro precisamos da direção unitária associada a
:
A derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar entre
e
:
Interpretação: movendo-se a partir de
na direção
(isto é, aumentando
e
simultaneamente na mesma taxa), a temperatura diminui à taxa de
por metro. O sinal negativo confirma que essa direção é de resfriamento local.
Passo 5
Por que a direção do gradiente dá o maior aquecimento (e a oposta o maior resfriamento):
- Fórmula-chave: para qualquer direção unitária
, a derivada direcional é
onde
é o ângulo entre
e
. Essa é apenas a identidade do produto escalar:
, com
.
- Como
varia entre e , o produto atinge seu máximo quando , isto é, quando (direção de coincidente com ). O valor máximo é então . - O valor mínimo possível (maior resfriamento) ocorre quando
, isto é, (direção oposta ao gradiente), e o valor é . - Intuição geométrica: o gradiente é o vetor cujas componentes dizem “quanto muda por metro” nas direções coordenadas; projetando esse vetor sobre qualquer direção
obtém-se exatamente a taxa de variação nessa direção. A projeção é máxima quando a direção é a mesma do vetor (projeta-se todo o comprimento) e mínima quando é oposta (projeta-se com sinal negativo todo o comprimento).
Exemplo numérico simples (reaproveitando nossos números):
. Assim a maior subida possível é
na direção
, e a maior queda possível é
na direção
. Isso bate com o cálculo da derivada direcional no Passo 4, que deu
para a direção
.
Resposta
(a)
Interpretação: mover-se 1 m no sentido
(com
fixo) ou 1 m no sentido
(com
fixo) reduz a temperatura em
.
(b) Interpretação: a direção de maior aquecimento é
(sentido de diminuir
e
) e a taxa máxima de aquecimento é
.
(c) para
(usando
). Interpretação: movendo-se na direção
a temperatura diminui à taxa
por metro.
(d) Porque para qualquer direção unitária vale
; esse valor é máximo quando
(direção de
) e mínimo quando
(direção oposta), logo o gradiente aponta para o maior aquecimento e a direção oposta para o maior resfriamento.
(b)
(c)
(d) Porque para qualquer direção unitária