Seja f(x, y)=x^{2}-3 x y+y^{2}.
(a) Calcule o vetor gradiente \nabla f no ponto ( 0,2 ).
(b) Determine a derivada direcional de f em (0,2) na direção do vetor \mathbf{u}=(1,1).
(c) Determine a derivada direcional de f em (0,2) na direção do vetor \mathbf{v}=(1,0).
(d) Interprete os resultados obtidos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}-3xy+y^{2}.
  • Ponto onde tudo será avaliado: (0,2).
  • Vetores-direção fornecidos:
    • \mathbf{u}=(1,1).
    • \mathbf{v}=(1,0).
O enunciado pede:
(a) Calcular o vetor gradiente \nabla f em (0,2).
(b) Determinar a derivada direcional de f em (0,2) na direção de \mathbf{u}=(1,1).
(c) Determinar a derivada direcional de f em (0,2) na direção de \mathbf{v}=(1,0).
(d) Interpretar os resultados obtidos.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais (isso nos dá o gradiente). Lembrete: o gradiente é o vetor das derivadas parciais,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right),
onde \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f tratando y como constante, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada tratando x como constante.
Agora calculemos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-3xy+y^{2}\bigr) = 2x - 3y,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-3xy+y^{2}\bigr) = -3x + 2y.
Avaliar em (0,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,2)=2\cdot 0 - 3\cdot 2 = -6,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,2)=-3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 4.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla f(0,2)=(-6,\,4).

Passo 3

Agora a derivada direcional. Teoria rápida e necessária: a derivada direcional de f em (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \mathbf{w} é
D_{\mathbf{w}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{w},
ou seja, produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário da direção. É importante usar um vetor unitário porque a derivada direcional mede a taxa por unidade de deslocamento.
Para \mathbf{u}=(1,1) calculemos primeiro o vetor unitário \hat{\mathbf{u}}. Norma de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Logo
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
A derivada direcional em (0,2) na direção de \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(0,2)=\nabla f(0,2)\cdot \hat{\mathbf{u}} =(-6,4)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Calcule o produto escalar passo a passo:
(-6)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{-6+4}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
Portanto
D_{\mathbf{u}}f(0,2)=-\sqrt{2}.

Passo 4

Agora a direção \mathbf{v}=(1,0). Primeiro a norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1,
portanto \mathbf{v} já é unitário: \hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}=(1,0).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{v}}f(0,2)=\nabla f(0,2)\cdot \hat{\mathbf{v}} = (-6,4)\cdot(1,0).
Calculando:
(-6)\cdot 1 + 4\cdot 0 = -6.
Então
D_{\mathbf{v}}f(0,2)=-6.

Passo 5

Interpretação geométrica (passo a passo e intuitivo):
  • O gradiente \nabla f(0,2)=(-6,4) aponta na direção de máximo aumento de f em (0,2). O sinal e os componentes indicam: para aumentar f é preciso mover-se com componente negativa em x (porque o componente em x do gradiente é -6) e componente positiva em y (porque o componente em y é 4).
  • A magnitude do gradiente é a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento:
\bigl\|\nabla f(0,2)\bigr\|=\sqrt{(-6)^{2}+4^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.
Logo a taxa máxima de aumento é 2\sqrt{13} e a taxa máxima de decréscimo (na direção oposta ao gradiente) é -2\sqrt{13}.
  • As derivadas direcionais que calculamos são taxas de variação por unidade de deslocamento nas direções dadas:
    • Em \mathbf{u}=(1,1) obtivemos D_{\mathbf{u}}f(0,2)=-\sqrt{2}. Isso é negativo: movendo-se na direção nordeste (aumentando x e y igualmente) a função diminui, e a taxa é \sqrt{2} unidades de f por unidade de deslocamento (no sentido de queda).
    • Em \mathbf{v}=(1,0) obtivemos D_{\mathbf{v}}f(0,2)=-6. Também negativo, mas com maior magnitude: mover-se para a direita (aumentando só x) faz f cair mais rapidamente (taxa 6 por unidade de deslocamento).
  • Comparando as taxas: -6 é numericamente maior em módulo que -\sqrt{2} (pois 6> \sqrt{2}), portanto a direção (1,0) provoca uma queda mais rápida de f do que (1,1). Ainda assim nenhuma das duas direções é a direção de máximo decréscimo absoluto, que seria -\nabla f(0,2) com taxa -2\sqrt{13}.
  • Outra forma de ver: a derivada direcional é \nabla f\cdot \hat{\mathbf{d}} = \|\nabla f\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre o gradiente e a direção. Como as derivadas direcionais deram valores negativos, os ângulos \theta com ambas as direções são maiores que 90^\circ, ou seja, essas direções têm componente anti-paralela ao gradiente, causando decrescimento de f.

Resposta

(a) \nabla f(0,2)=(-6,\,4)
(b) D_{\mathbf{u}}f(0,2)=-\sqrt{2}
(c) D_{\mathbf{v}}f(0,2)=-6
(d) O gradiente aponta para a direção de máximo aumento; ambas as derivadas direcionais são negativas, ou seja, nas direções (1,1) e (1,0) a função decresce em (0,2). A queda é mais rápida na direção (1,0) (taxa -6) do que em (1,1) (taxa -\sqrt{2}); a taxa máxima de aumento seria 2\sqrt{13} na direção (-6,4) e a máxima decréscima seria -2\sqrt{13} na direção oposta.

Exercícios relacionados