Dada a função
,
Calcule a Série de Fourier
associada a função
.
$
$
Calcule a Série de Fourier
$
$
Passo 1
A função é periódica de período 2
em
, definida por
0<x\le\pi:
-\pi\le x<0:
O objetivo é desenvolver a Série de Fourier de período 2 . Vamos precisar calcular os coeficientes
pelas fórmulas
0<x\le\pi:
-\pi\le x<0:
O objetivo é desenvolver a Série de Fourier de período 2
Passo 2
Vamos calcular
. Como
,
Cada integral dá
Passo 3
Agora
. Temos
$$a_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}{0}(\tfrac{x}{\pi}+1)\cos(nx)dx+\int_{0}{\pi}(\tfrac{x}{\pi}-1)\cos(nx)dx\Bigr).
Passo 4
Falta
:
$$b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}{0}(\tfrac{x}{\pi}+1)\sin(nx)dx+\int_{0}{\pi}(\tfrac{x}{\pi}-1)\sin(nx)dx\Bigr).
Passo 5
Com
,
e
, a Série de Fourier fica
$$f(x)=\sum_{n=1}{\infty}b_n\sin(nx)=-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx).
$$