Dada a função f(x)=llxpi-1 & , 0,
Calcule a Série de Fourier ^1 associada a função f(x).
$
f(x)= & a02+sumn=1^infty[an cos (n pi xL)+bn sen(n pi xL)], x in(-L, L) com & a0=1L integral-L^L f(x) d x an=1L integral-L^L f(x) cos (n pi xL) d x bn=1L integral-L^L f(x) sen(n pi xL) d x
$

Passo 1

A função é periódica de período 2 pi em [-pi,pi], definida por
0<x\le\pi: f(x)=xpi-1
-\pi\le x<0: f(x)=xpi+1
O objetivo é desenvolver a Série de Fourier de período 2 L=pi. Vamos precisar calcular os coeficientes
a0,an,bn pelas fórmulas
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr)dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr)dx

Passo 2

Vamos calcular a0. Como L=pi,
integral-pi^pif(x)dx=integral-pi^0l(tfracxpi+1r)dx+integral0^pil(tfracxpi-1r)dx
Cada integral dá pi/2 e -pi/2, somando zero. Logo
a0=1picdot0=0

Passo 3

Agora an. Temos
$$a_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}{0}(\tfrac{x}{\pi}+1)\cos(nx)dx+\int_{0}{\pi}(\tfrac{x}{\pi}-1)\cos(nx)dx\Bigr).
an=1pil(integral-pi^0(tfracxpi+1)cos(nx)dx+integral0^pi(tfracxpi-1)cos(nx)dxr) çãçõa_n=0\quad(\forall n\ge1).$$

Passo 4

Falta bn:
$$b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}{0}(\tfrac{x}{\pi}+1)\sin(nx)dx+\int_{0}{\pi}(\tfrac{x}{\pi}-1)\sin(nx)dx\Bigr).
bn=1pil(integral-pi^0(tfracxpi+1)sin(nx)dx+integral0^pi(tfracxpi-1)sin(nx)dxr) áéb_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{2}{n}\Bigr)=-\frac{2}{\pi n}.$$

Passo 5

Com a0=0, an=0 e bn=-2/(pi n), a Série de Fourier fica
$$f(x)=\sum_{n=1}{\infty}b_n\sin(nx)=-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n}\sin(nx).
$$

Resposta

f(x)=-2pisumn=1^inftysin(nx)n

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