Exercício 4 Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (0,0), derivada direcional igual a 2 na direção do vetor i+j e derivada direcional igual a 3 na direção i-j.
(b) Calcule partial fpartial u(0,0), onde u é o vetor unitário na direção 3 i+4 j.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma função diferenciável no ponto . Sabemos que a derivada direcional nessa posição é igual a 2 na direção do vetor e igual a 3 na direção do vetor . Nosso objetivo é calcular a derivada direcional onde é o vetor unitário na direção de .
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais e gradiente de uma função vetorial.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma derivada direcional.
  • Saber como calcular o gradiente de uma função.
  • Conhecer a relação entre a derivada direcional e o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função Dv f = nabla f cdot u na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de . O gradiente .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição às direções fornecidas:
  1. Na direção de 2 = nabla f cdot 1raiz2 (1, 1) , a derivada direcional é 2:
3 = nabla f cdot 1raiz2 (1, -1)
  1. Na direção de , a derivada direcional é 3:
Observe que dividimos cada vetor por para torná-lo unitário.

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para encontrar 2 = 1raiz2 (a + b) e 3 = 1raiz2 (a - b) . Vamos chamar e .
Assim:

Passo 5

Multiplicando ambas as equações por 2raiz2 = a + b para simplificar:
3raiz2 = a - b
a + b = 2raiz2 a - b = 3raiz2
Agora, temos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = 2raiz2 + 3raiz2 2a = 5raiz2 a = 5raiz22
Agora, substituímos o valor de 5raiz22 + b = 2raiz2 b = 2raiz2 - 5raiz22 = -raiz22 em uma das equações para encontrar :

Passo 7

Agora que temos nabla f(0,0) = ( 5raiz22, -raiz22 ) e , o gradiente no ponto é:

Passo 8

Agora, queremos calcular a derivada direcional na direção do vetor u = 1raiz3^2 + 4^2 (3, 4) = 15 (3, 4) . Primeiro, encontramos o vetor unitário :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u(0,0) = nabla f cdot u = ( 5raiz22, -raiz22 ) cdot ( 35, 45 )
= 5raiz22 cdot 35 + ( -raiz22 ) cdot 45 = 3raiz22 - 2raiz25 = 15raiz2 - 4raiz210 = 11raiz210

Resposta

A derivada direcional na direção de é .

Exercícios relacionados