Exercício 4 Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 2 na direção do vetor
e derivada direcional igual a 3 na direção
.
(b) Calcule
, onde
é o vetor unitário na direção
.
(b) Calcule
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma função diferenciável
no ponto
. Sabemos que a derivada direcional nessa posição é igual a 2 na direção do vetor
e igual a 3 na direção do vetor
. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais e gradiente de uma função vetorial.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma derivada direcional.
- Saber como calcular o gradiente de uma função.
- Conhecer a relação entre a derivada direcional e o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção de
. O gradiente
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição às direções fornecidas:
- Na direção de
, a derivada direcional é 2:
- Na direção de
, a derivada direcional é 3:
Observe que dividimos cada vetor por
para torná-lo unitário.
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para encontrar
e
. Vamos chamar
e
.
Assim:
Passo 5
Multiplicando ambas as equações por
para simplificar:
Agora, temos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
Agora, substituímos o valor de
em uma das equações para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, o gradiente
no ponto
é:
Passo 8
Agora, queremos calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Primeiro, encontramos o vetor unitário
:
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
na direção de
é
.