Exercício 1 (3,0). A temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medido em
e
em metros.
a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto
.
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
?
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
.
a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que descreve a temperatura em um ponto
, dada por $ T(x, y) = e{-x{2} - 3y^{2}} $. O exercício aborda o estudo de como a temperatura varia nesse ponto específico $ P(2, -1) $ em diferentes direções. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e vetor gradiente, que nos ajudam a calcular taxas de variação em multivariáveis.
Passo 2
Para determinar a taxa de variação da temperatura no ponto $ P(2, -1) $ na direção até o ponto $ (3, -3) $, primeiro precisamos encontrar o vetor que aponta de $ P $ para $ (3, -3) $. Esse vetor é dado por:
Agora, para usar esse vetor na derivada direcional, ele deve ser um vetor unitário (com comprimento 1). Então, vamos calcular o comprimento de $ \vec{v} $:
E o vetor unitário $ \vec{u} $ na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função $ T(x, y) $, que nos dá as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $:
Calculando as derivadas:
No ponto $ P(2, -1) $, temos:
Então, o gradiente no ponto $ P $ é:
Passo 4
A taxa de variação direcional da função $ T $ na direção de $ \vec{u} $ é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de $ T $ no ponto $ P $ e o vetor unitário $ \vec{u} $:
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto $ P(2, -1) $ na direção até o ponto $ (3, -3) $ é $ \frac{-16e^{-7}}{\sqrt{5}} $ graus Celsius por metro.