Questão 4. (2,0 pontos) Considere uma corrente de ar modelada pelo campo de velocidades
e um filtro de ar descrito pela porção do paraboloide
para
, com vetor normal cuja terceira entrada é não-negativa. Calcule o fluxo ar que passa através deste filtro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre fluxo de um campo de velocidades através de uma superfície. O enunciado nos dá um campo vetorial $ F(x, y, z) = y, \vec{i} + z, \vec{j} + x, \vec{k} $ e a superfície é uma parte de um paraboloide descrito por $ x^{2} + y^{2} + z = 1 $ para $ 0 \leq z \leq 1 $. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo através desse filtro de ar. Para isso, vamos precisar usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Matematicamente, é representado por $ \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , dS $, onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como a superfície dada é apenas uma parte aberta do paraboloide, para aplicar o teorema da divergência, precisamos fechar essa superfície adicionando a base do paraboloide, que é o círculo no plano $ z = 0 $ com equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Vamos chamar essa base de $ S_{2} $ e o paraboloide de $ S_{1} $. Agora, temos uma superfície fechada composta por $ S_{1} $ e $ S_{2} $.
Passo 4
O teorema da divergência nos diz que:
onde $ V $ é o volume limitado pela superfície fechada $ S = S_{1} \cup S_{2} $.
Passo 5
Vamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $:
Isso significa que a integral de volume será zero:
Passo 6
Então, temos:
Queremos o fluxo através de $ S_{1} $, então isolamos:
Agora, vamos calcular o fluxo através de $ S_{2} $. No plano $ z = 0 $, $ \mathbf{F} = y, \vec{i} + 0, \vec{j} + x, \vec{k} $ e o vetor normal $ \mathbf{n} $ aponta para baixo, então $ \mathbf{n} = -\vec{k} $. Portanto:
A integral fica:
Por simetria, a integral de $ x $ sobre um círculo centrado na origem é zero. Assim:
Portanto:
Resposta
O fluxo ar que passa através do filtro é igual a zero.