Prove que existe um número
tal que
, usando o TVI.
Passo 1
O enunciado pede para provar que existe um número
tal que
. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que se aplica a funções contínuas. Vamos precisar definir a função
e mostrar que ela muda de sinal em
e em
.
Passo 2
Definimos a função
por
Como todo polinômio é contínuo em
, temos que
é contínua em qualquer intervalo, inclusive em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nas extremidades do intervalo:
Portanto,
e
têm sinais opostos.
Passo 4
O Teorema do Valor Intermediário diz que se
é contínua em
e
, então existe pelo menos um
tal que
. Aqui temos
, logo os requisitos estão satisfeitos.
Passo 5
Pela aplicação do TVI concluímos que existe
tal que $f©=c^2+c-1=0.
Resposta
Existe um número c\in(0,1) tal que c^2+c-1=0.