Prove que existe um número c in(0,1) tal que c^2+c-1=0, usando o TVI.

Passo 1

O enunciado pede para provar que existe um número cin(0,1) tal que c^2+c-1=0. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que se aplica a funções contínuas. Vamos precisar definir a função f(x)=x^2+x-1 e mostrar que ela muda de sinal em 0 e em 1.

Passo 2

Definimos a função f:RtoR por
f(x)=x^2+x-1
Como todo polinômio é contínuo em R, temos que f é contínua em qualquer intervalo, inclusive em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0)=0^2+0-1=-1<0,
f(1)=1^2+1-1=1>0
Portanto, f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

O Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua em [a,b] e f(a)cdot f(b)<0, então existe pelo menos um cin(a,b) tal que f(c)=0. Aqui temos f(0)cdot f(1)=(-1)cdot1=-1<0, logo os requisitos estão satisfeitos.

Passo 5

Pela aplicação do TVI concluímos que existe cin(0,1) tal que $f©=c^2+c-1=0.

Resposta

Existe um número c\in(0,1) tal que c^2+c-1=0.

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