Exercício 1. A tensão em uma viga de concreto é modelada pela função:
onde
é a distância do apoio (em metros).
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão em relação a
.
Calcule a derivada segunda de
e interprete-a fisicamente (relacione com a curvatura da viga).
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão em relação a
Calcule a derivada segunda de
Passo 1
O enunciado dá a função tensão
onde
é a distância do apoio (em metros). Ele pede duas coisas:
- Encontrar a taxa de variação da tensão em relação a
(ou seja, a derivada primeira ). - Calcular a derivada segunda
e interpretar fisicamente essa derivada relacionando-a com a curvatura da viga.
Passo 2
Vamos lembrar (aqui ensino passo a passo) a regra que serve para funções que são produto de duas funções: se
, então a derivada é
Isto significa: derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, e depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
No nosso caso identificamos
No nosso caso identificamos
Agora precisamos das derivadas individuais de
e
:
- Para
usamos a regra básica da potência e da soma: a derivada de é , então
Expliquei: multiplica-se o expoente 2 por 3 dando
, e a derivada de
é
.
- Para
usamos a regra da cadeia para logaritmo: a derivada de é . Aqui e . Portanto
Passo 3
Aplicando a regra do produto com os resultados acima:
Agora vamos simplificar o segundo termo racional
. Fazemos divisão polinomial ou observamos que
pois
. Assim
Substituindo na expressão de
obtemos uma forma mais explícita e prática para cálculos:
Passo 4
Agora calculamos a derivada segunda
. Partimos de
Vamos derivar termo a termo.
- Para o termo
aplicamos novamente a regra do produto com e . Temos e . Portanto a derivada desse termo é
Expliquei: derivada de
é
.
- A derivada de
é . - A derivada de
é (regra da potência ou regra do quociente).
Somando tudo:
Passo 5
Podemos simplificar
igual à forma que fizemos antes: escrevemos
logo
Substituindo em
e juntando constantes:
Como
, uma forma final simplificada é
Outra forma equivalente, reunindo os termos racionais sobre um único denominador, é
Ambas são equivalentes; a primeira é útil para ver termos separadamente, a segunda é uma única fração para os termos racionais.
Passo 6
Interpretação física (didática e com intuição): \n
-
representa a taxa de variação da tensão com a distância; ou seja, quanto a tensão muda por metro ao nos deslocarmos ao longo da viga. Se a tensão cresce com ; se ela diminui. \n -
é a taxa de variação da inclinação da curva : mede como a taxa de variação da tensão muda com . Em termos visuais, diz se o gráfico de está “curvado para cima” (concavidade para cima, ) ou “curvado para baixo” (concavidade para baixo, ). \n - Ligando com curvatura: a curvatura geométrica de uma curva
no plano é dada pela fórmula
Para inclinações pequenas (situação comum nas vigas com pequenas variações) a curvatura fica aproximadamente proporcional a
. Assim,
fornece informação direta sobre quão “curvada” está a distribuição de tensão ao longo da viga: valores grandes de
indicam mudanças rápidas na inclinação (curvatura acentuada), enquanto
próximo de zero indica que a tensão varia quase linearmente localmente (pouca curvatura). Em outras palavras:
controla a concavidade da curva tensão vs. posição, e por isso está diretamente relacionado à ideia de curvatura da distribuição de tensão na viga.
Resposta
Interpretação: