Exercício 1. A tensão em uma viga de concreto é modelada pela função:
T(x)=\left(3 x^{2}+2 x\right) \cdot \ln (x+1)
onde x é a distância do apoio (em metros).
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão em relação a x.
Calcule a derivada segunda de T(x) e interprete-a fisicamente (relacione com a curvatura da viga).

Passo 1

O enunciado dá a função tensão
T(x)=\left(3x^{2}+2x\right)\cdot \ln(x+1)
onde \,x\, é a distância do apoio (em metros). Ele pede duas coisas:
  1. Encontrar a taxa de variação da tensão em relação a \,x (ou seja, a derivada primeira \,T'(x)\,).
  2. Calcular a derivada segunda \,T''(x)\, e interpretar fisicamente essa derivada relacionando-a com a curvatura da viga.

Passo 2

Vamos lembrar (aqui ensino passo a passo) a regra que serve para funções que são produto de duas funções: se \,T(x)=u(x)\cdot v(x)\,, então a derivada é
T'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, e depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
No nosso caso identificamos
u(x)=3x^{2}+2x,\qquad v(x)=\ln(x+1).
Agora precisamos das derivadas individuais de u e v:
  • Para u(x)=3x^{2}+2x usamos a regra básica da potência e da soma: a derivada de x^{2} é 2x, então
u'(x)=6x+2.
Expliquei: multiplica-se o expoente 2 por 3 dando 6x, e a derivada de 2x é 2.
  • Para v(x)=\ln(x+1) usamos a regra da cadeia para logaritmo: a derivada de \ln(g(x)) é g'(x)/g(x). Aqui g(x)=x+1 e g'(x)=1. Portanto
v'(x)=\frac{1}{x+1}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto com os resultados acima:
T'(x)=\bigl(6x+2\bigr)\ln(x+1)+(3x^{2}+2x)\cdot\frac{1}{x+1}.
Agora vamos simplificar o segundo termo racional \dfrac{3x^{2}+2x}{x+1}. Fazemos divisão polinomial ou observamos que
3x^{2}+2x=(x+1)(3x-1)+1,
pois (x+1)(3x-1)=3x^{2}+2x-1. Assim
\frac{3x^{2}+2x}{x+1}=3x-1+\frac{1}{x+1}.
Substituindo na expressão de T'(x) obtemos uma forma mais explícita e prática para cálculos:
T'(x)=\bigl(6x+2\bigr)\ln(x+1)+3x-1+\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda \,T''(x)\,. Partimos de
T'(x)=\bigl(6x+2\bigr)\ln(x+1)+3x-1+\frac{1}{x+1}.
Vamos derivar termo a termo.
  • Para o termo \bigl(6x+2\bigr)\ln(x+1) aplicamos novamente a regra do produto com a(x)=6x+2 e b(x)=\ln(x+1). Temos a'(x)=6 e b'(x)=\dfrac{1}{x+1}. Portanto a derivada desse termo é
6\ln(x+1)+\frac{6x+2}{x+1}.
Expliquei: derivada de a\cdot b é a'\,b+a\,b'.
  • A derivada de 3x-1 é 3.
  • A derivada de \dfrac{1}{x+1} é -\dfrac{1}{(x+1)^{2}} (regra da potência ou regra do quociente).
Somando tudo:
T''(x)=6\ln(x+1)+\frac{6x+2}{x+1}+3-\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Podemos simplificar \dfrac{6x+2}{x+1} igual à forma que fizemos antes: escrevemos
6x+2=6(x+1)-4,
logo
\frac{6x+2}{x+1}=6-\frac{4}{x+1}.
Substituindo em T''(x) e juntando constantes:
T''(x)=6\ln(x+1)+6-\frac{4}{x+1}+3-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Como 6+3=9, uma forma final simplificada é
T''(x)=6\ln(x+1)+9-\frac{4}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Outra forma equivalente, reunindo os termos racionais sobre um único denominador, é
T''(x)=6\ln(x+1)+9-\frac{4x+5}{(x+1)^{2}}.
Ambas são equivalentes; a primeira é útil para ver termos separadamente, a segunda é uma única fração para os termos racionais.

Passo 6

Interpretação física (didática e com intuição): \n
  • \,T'(x)\, representa a taxa de variação da tensão com a distância; ou seja, quanto a tensão muda por metro ao nos deslocarmos ao longo da viga. Se \,T'(x)>0\, a tensão cresce com x; se \,T'(x)<0\, ela diminui. \n
  • \,T''(x)\, é a taxa de variação da inclinação da curva T(x): mede como a taxa de variação da tensão muda com x. Em termos visuais, \,T''(x)\, diz se o gráfico de T(x) está “curvado para cima” (concavidade para cima, \,T''(x)>0) ou “curvado para baixo” (concavidade para baixo, \,T''(x)<0). \n
  • Ligando com curvatura: a curvatura geométrica de uma curva y=T(x) no plano é dada pela fórmula
\kappa(x)=\frac{|T''(x)|}{\bigl(1+(T'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para inclinações pequenas (situação comum nas vigas com pequenas variações) a curvatura fica aproximadamente proporcional a |T''(x)|. Assim, T''(x) fornece informação direta sobre quão “curvada” está a distribuição de tensão ao longo da viga: valores grandes de |T''(x)| indicam mudanças rápidas na inclinação (curvatura acentuada), enquanto T''(x) próximo de zero indica que a tensão varia quase linearmente localmente (pouca curvatura). Em outras palavras: T'' controla a concavidade da curva tensão vs. posição, e por isso está diretamente relacionado à ideia de curvatura da distribuição de tensão na viga.

Resposta

T'(x)=\bigl(6x+2\bigr)\ln(x+1)+3x-1+\dfrac{1}{x+1}.
T''(x)=6\ln(x+1)+9-\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^{2}} (equivalente a T''(x)=6\ln(x+1)+9-\dfrac{4x+5}{(x+1)^{2}}).
Interpretação: T'(x) é a taxa de variação da tensão com a posição; T''(x) mede a mudança dessa taxa (a concavidade da curva T(x)) e está diretamente ligada à curvatura da distribuição de tensão (curvatura geométrica \kappa é aproximadamente proporcional a |T''(x)| para pequenas inclinações).

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