integral d xx(x-2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral dxx(x-2)^2. Aqui estamos lidando com uma função racional, que é um quociente de polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método das frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompôr a fração 1x(x-2)^2 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem fatores x e (x-2)^2, vamos assumir a forma:
1x(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x-2)^2 para eliminar os denominadores:
1 = A(x-2)^2 + Bx(x-2) + Cx

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
1 = A(x^2 - 4x + 4) + Bx(x - 2) + Cx
1 = A x^2 - 4A x + 4A + B x^2 - 2B x + C x

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + (-4A - 2B + C) x + 4A
Como isso deve ser igual a 1, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 -4A - 2B + C = 0 4A = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De 4A = 1, temos A = 14.
  2. De A + B = 0, substituindo A, temos B = -14.
  3. De -4A - 2B + C = 0, substituindo A e B:
-4(14) - 2(-14) + C = 0 -1 + 12 + C = 0 C = 12

Passo 7

Agora que encontramos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
1x(x-2)^2 = 1/4x + -1/4x-2 + 1/2(x-2)^2

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x-2)^2 = 14 integral dxx - 14 integral dxx-2 + 12 integral dx(x-2)^2

Passo 9

Agora, calculando cada integral:
  1. 14 integral dxx = 14 ln|x|
  2. -14 integral dxx-2 = -14 ln|x-2|
  3. 12 integral dx(x-2)^2 = 12 ( -1x-2 ) = -12(x-2)

Passo 10

Finalmente, juntando tudo e adicionando a constante de integração C:
integral dxx(x-2)^2 = 14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 12(x-2) + C

Resposta

integral dxx(x-2)^2 = 14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 12(x-2) + C

Exercícios relacionados