Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma função racional, que é um quociente de polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método das frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem fatores e , vamos assumir a forma:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como isso deve ser igual a 1, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
De 4A = 1, temos A = 14.
De A + B = 0, substituindo A, temos B = -14.
De -4A - 2B + C = 0, substituindo A e B:
-4(14) - 2(-14) + C = 0 -1 + 12 + C = 0 C = 12
Passo 7
Agora que encontramos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
1x(x-2)^2 = 1/4x + -1/4x-2 + 1/2(x-2)^2
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x-2)^2 = 14 integral dxx - 14 integral dxx-2 + 12 integral dx(x-2)^2
Passo 9
Agora, calculando cada integral:
14 integral dxx = 14 ln|x|
-14 integral dxx-2 = -14 ln|x-2|
12 integral dx(x-2)^2 = 12 ( -1x-2 ) = -12(x-2)
Passo 10
Finalmente, juntando tudo e adicionando a constante de integração C:
integral dxx(x-2)^2 = 14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 12(x-2) + C
Resposta
integral dxx(x-2)^2 = 14 ln|x| - 14 ln|x-2| - 12(x-2) + C