Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a EDO
é exata, e em caso negativo usar o fator integrante fornecido
para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral (e particular, se houver condição inicial). O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma
, onde
Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Aplicamos o fator integrante dado
. Multiplicando toda a equação por
obtemos a nova EDO exata:
Passo 4
Verificamos exatidão da EDO modificada calculando:
$$\frac{\partial M^}{\partial y}=\sec^2 y,\qquad \frac{\partial N^}{\partial x}=\frac1{\cos^2 y}=\sec^2 y.
$$
Como são iguais, a equação é agora exata.
Como são iguais, a equação é agora exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
onde
é função a determinar.
Passo 6
Para achar
, usamos
$$\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x\sec^2 y + h’(y)
Passo 7
Logo, a solução implícita é
podendo multiplicar por 2 para simplificar.
Resposta
x^2 + 2x\tan y = C