Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(sen y cos y+x cos ^2 y)+x y^prime=0
F^*=1 / cos ^2 y

Passo 1

O enunciado pede para testar se a EDO (sin ycos y + xcos^2 y) + x y'=0 é exata, e em caso negativo usar o fator integrante fornecido F^*=1/cos^2 y para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral (e particular, se houver condição inicial). O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, onde
M(x,y)=sin ycos y + xcos^2 y, N(x,y)=x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=cos^2 y - sin^2 y -2xsin ycos y=cos2y -2xsin ycos y,
partial Npartial x=1
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, a EDO original não é exata.

Passo 3

Aplicamos o fator integrante dado F^*(y)=1/cos^2 y. Multiplicando toda a equação por F^* obtemos a nova EDO exata:
M^*(x,y)=Mcos^2 y=x+tan y, N^*(x,y)=Ncos^2 y=xcos^2 y

Passo 4

Verificamos exatidão da EDO modificada calculando:
$$\frac{\partial M^}{\partial y}=\sec^2 y,\qquad \frac{\partial N^}{\partial x}=\frac1{\cos^2 y}=\sec^2 y.
$$
Como são iguais, a equação é agora exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M^*(x,y)=x+tan y
Integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral(x+tan y),dx=x^22+xtan y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Para achar h(y), usamos
$$\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x\sec^2 y + h’(y)
partial Phipartial y=xsec^2 y + h'(y) x\sec^2 y + h’(y)=x\sec^2 y\implies h’(y)=0\implies h(y)=C_1.$$

Passo 7

Logo, a solução implícita é
Phi(x,y)=x^22+xtan y=C,
podendo multiplicar por 2 para simplificar.

Resposta

x^2 + 2x\tan y = C

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