Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a EDO
é exata. Caso não seja, usar o fator integrante fornecido
e, em seguida, encontrar a solução geral (e particular se houver condição inicial).
Passo 2
Identificamos as funções
jeito que a equação fique na forma
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -e^{-y},\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -e{-x}\bigl(-e{-y}+1\bigr)’_{x} = e{-x}\bigl(e{-y}-1\bigr).
a EDO não é exata.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
Isso gera
Agora a equação exata é
Passo 5
Para resolver a equação exata, procuramos uma função potencial
tal que
Integramos a primeira condição em relação a
Derivando em relação a
e igualando a
obtemos
Logo,
Passo 6
A solução implícita geral é
$$\Phi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad e^x + e^y - y = C.
$$
Se houver condição inicial , basta substituir em
para achar
e obter a solução particular.
Se houver condição inicial
Resposta
A solução geral é
e^x + e^y - y = C
e^x + e^y - y = C