Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^-y+e^-x(-e^-y+1) d yd x=0, F=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede para testar se a EDO
e^-y + e^-xl(-e^-y+1r)dydx=0
é exata. Caso não seja, usar o fator integrante fornecido
F(x,y)=e^x+y
e, em seguida, encontrar a solução geral (e particular se houver condição inicial).

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y)=e^-y, N(x,y)=e^-xl(-e^-y+1r),
jeito que a equação fique na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -e^{-y},\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -e{-x}\bigl(-e{-y}+1\bigr)’_{x} = e{-x}\bigl(e{-y}-1\bigr).
partial Mpartial y = -e^-y, partial Npartial x = -e^-xl(-e^-y+1r)'x = e^-xl(e^-y-1r) -e^{-y} \neq e{-x}(e{-y}-1),$$
a EDO não é exata.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
mu(x,y)=e^x+y
Isso gera
mu M = e^x+ye^-y=e^x,
mu N = e^x+ye^-x(-e^-y+1)=e^y(-e^-y+1)=-1+e^y
Agora a equação exata é
e^x,dx + (e^y-1),dy=0

Passo 5

Para resolver a equação exata, procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=e^x, partial Phipartial y=e^y-1
Integramos a primeira condição em relação a x:
Phi(x,y)=integral e^x,dx = e^x + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a e^y-1 obtemos
h'(y)=e^y-1implies h(y)=e^y - y + C
Logo,
Phi(x,y)=e^x + e^y - y

Passo 6

A solução implícita geral é
$$\Phi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad e^x + e^y - y = C.
$$
Se houver condição inicial Phi(x,y)=C Longrightarrow e^x + e^y - y = C , basta substituir em (x0,y0) para achar e^x0+e^y0-y0=C e obter a solução particular.

Resposta

A solução geral é
e^x + e^y - y = C

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