Exercício 3
Toda sequência convergente é monótona? Explique.
Toda sequência convergente é monótona? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda sequência convergente é monótona, ou seja, se o fato de ter limite implica necessariamente que seus termos não mudam o sentido de crescimento ou decrescimento. Vamos lembrar as definições: uma sequência
é dita convergente quando existe
tal que para todo
existe
com
para todo
. Já dizemos que
é monotonicamente crescente se
para todo
, e monotonicamente decrescente se
para todo
.
Passo 2
O teorema clássico diz que toda sequência monotônica e limitada converge, mas a recíproca não é verdadeira. Para ver isso na prática, considere a sequência definida por
Passo 3
Note que
quando
, pois
. No entanto, os sinais de
alternam entre positivo e negativo, logo não há condição
nem
para todos os
. Ou seja,
não é monótona.
Passo 4
Portanto, concluímos que convergência não implica monotonicidade: existem sequências convergentes que oscilam, desde que a amplitude da oscilação tenda a zero.
Resposta
Não. Por exemplo, a sequência
converge a 0 quando
, mas não é monótona pois seus termos alternam de sinal.