Exercício 3
Toda sequência convergente é monótona? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda sequência convergente é monótona, ou seja, se o fato de ter limite implica necessariamente que seus termos não mudam o sentido de crescimento ou decrescimento. Vamos lembrar as definições: uma sequência (an) é dita convergente quando existe LinR tal que para todo varepsilon>0 existe N com |an - L| para todo n>= N. Já dizemos que (an) é monotonicamente crescente se an+1>= an para todo n, e monotonicamente decrescente se an+1<= an para todo n.

Passo 2

O teorema clássico diz que toda sequência monotônica e limitada converge, mas a recíproca não é verdadeira. Para ver isso na prática, considere a sequência definida por
an = (-1)^n 1n

Passo 3

Note que anto0 quando ntoinfty, pois |an|=1/nto0. No entanto, os sinais de an alternam entre positivo e negativo, logo não há condição an+1>= an nem an+1<= an para todos os n. Ou seja, (an) não é monótona.

Passo 4

Portanto, concluímos que convergência não implica monotonicidade: existem sequências convergentes que oscilam, desde que a amplitude da oscilação tenda a zero.

Resposta

Não. Por exemplo, a sequência an = (-1)^n1n converge a 0 quando ntoinfty, mas não é monótona pois seus termos alternam de sinal.

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