Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
90) sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty(-1)^k+12^kk^3,3^k+2. O conteúdo envolve séries alternantes e testes de convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Para analisar a convergência absoluta, consideramos sumk=1^infty|ak|. Temos
|ak| = 2^kk^3,3^k+2 = 19(2/3)^kk^3
Logo, estudamos a convergência de sumk=1^infty(2/3)^kk^3.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão à série de valores absolutos. Definindo
bk = (2/3)^kk^3,
calculamos
limktoinftybk+1bk = limktoinfty(2/3)^k+1/(k+1)^3(2/3)^k/k^3 = 23limktoinftyl(kk+1r)^3 = 23 < 1
Como o limite é menor que 1, a série sum bk converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Sendo absolutamente convergente, ela não é apenas condicional.

Resposta

(a) Converge absolutamente. (b) Não converge condicionalmente.

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