Seja f(x)=-x2 & , x<1 1^2raizx & , x >= 1
f é diferenciável em x=1?

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes: para x<1 temos f(x)= -tfracx2 e para x≥1 temos f(x)= 1/raizx. Queremos saber se f é diferenciável em x=1, ou seja, se ela é contínua em x=1 e se as derivadas laterais coincidem.

Passo 2

Para testar a continuidade em x=1, calculamos os limites laterais e o valor da função: limxto1^-f(x)=limxto1^-l(-tfracx2r)=-tfrac12, limxto1^+f(x)=limxto1^+tfrac1raizx=1 e o valor f(1) (pelo ramo x≥1) é 1. Vemos que o limite esquerdo -tfrac12 é diferente de f(1)=1.

Passo 3

Como a função não é contínua em x=1 (os limites laterais não coincidem, nem coincidem com f(1)), já podemos concluir que f não é diferenciável em x=1, pois diferenciabilidade exige continuidade no ponto.

Resposta

Não, f não é diferenciável em x=1.

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