Um transformador trifásico é formado a partir de um banco de transformadores monofásicos. A ligação realizada é estrela-estrela é usado para abaixar a tensão de linha de 625 k V,para alimentar uma fábrica operando com uma tensão de linha de 12,5 k V. A fábrica absorve 40 M W com fator de potência (atrasado) igual a 0,90 . Determine:
a) a corrente absorvida pela fábrica;
b) a relação de espiras;
c) a corrente no primário do transformador;
d) a carga suportada por cada um dos transformadores

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede, listado claramente:
  • Tensão de linha no primário: V_{1L}=625\\ \mathrm{kV}.
  • Tensão de linha no secundário (fábrica): V_{2L}=12{,}5\\ \mathrm{kV}.
  • Potência ativa absorvida pela fábrica: P=40\\ \mathrm{MW}.
  • Fator de potência (atrasado): \mathrm{pf}=0{,}90.
  • Ligação do banco: estrela-estrela (Y–Y).
  • O que pedir:
    a) corrente absorvida pela fábrica (corrente de linha no secundário);
    b) relação de espiras (relação de transformação por fase);
    c) corrente no primário do transformador (corrente de linha no lado de 625 kV);
    d) carga suportada por cada um dos transformadores monofásicos do banco (em VA, MW e MVAr e corrente por transformador).

Passo 2

Calcular a potência aparente total do sistema.
Conceito e fórmula: em um sistema trifásico balanceado a potência aparente total \,S, está relacionada com a potência ativa P e o fator de potência \mathrm{pf} por
S=\frac{P}{\mathrm{pf}}.
Aqui S é em VA, P em W e \mathrm{pf} adimensional. Substituindo os valores:
S=\frac{40\\ \mathrm{MW}}{0{,}90}=\frac{40{,}000{,}000\\ \mathrm{W}}{0{,}90}=44{,}444{,}444{,}44\\ \mathrm{VA}\approx 44{,}44\\ \mathrm{MVA}.

Passo 3

Calcular a corrente absorvida pela fábrica (corrente de linha no secundário).
Fórmula importante: para um sistema trifásico balanceado relaciona-se S, tensão de linha V_L e corrente de linha I_L por
S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
Aqui S é a potência aparente total (VA), V_{L} a tensão de linha (V) e I_{L} a corrente de linha (A). Despejando I_{L}:
I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
Aplicando ao secundário (fábrica), com V_{2L}=12{,}5\\ \mathrm{kV}=12{,}500\\ \mathrm{V} e S=44{,}444{,}444{,}44\\ \mathrm{VA}:
I_{2}=\frac{44{,}444{,}444{,}44}{\sqrt{3}\times 12{,}500}=\frac{44{,}444{,}444{,}44}{1{,}73205\times 12{,}500}\approx 2{,}053{,}57\\ \mathrm{A}.
Interpretação rápida: a fábrica puxa aproximadamente 2{,}05\\ \mathrm{kA} em cada linha do lado de 12{,}5\\ \mathrm{kV}.

Passo 4

Determinar a relação de espiras (relação de transformação) do transformador monofásico que compõe o banco estrela-estrela.
Conceito: a relação de espiras por fase a=\dfrac{N_1}{N_2} é igual à razão entre as tensões de fase primária e secundária:
a=\frac{V_{1\varphi}}{V_{2\varphi}}.
Para ligação em estrela a tensão de fase é \,V_{\varphi}=V_{L}/\sqrt{3}\,. Logo
a=\frac{V_{1\varphi}}{V_{2\varphi}}=\frac{V_{1L}/\sqrt{3}}{V_{2L}/\sqrt{3}}=\frac{V_{1L}}{V_{2L}}.
Portanto, usando as tensões de linha dadas:
a=\frac{625\\ \mathrm{kV}}{12{,}5\\ \mathrm{kV}}=\frac{625}{12{,}5}=50.
Conclusão: a relação de espiras é 50{:}1 (primário:secundário).

Passo 5

Calcular a corrente no primário do transformador.
Duas formas equivalentes (explico as duas para você ter escolha na prova):
  1. Direto pela fórmula trifásica:
I_{1}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{1L}},
com V_{1L}=625\\ \mathrm{kV}=625{,}000\\ \mathrm{V}. Assim
I_{1}=\frac{44{,}444{,}444{,}44}{\sqrt{3}\times 625{,}000}\approx 41{,}07\\ \mathrm{A}.
  1. Usando a relação de transformação e a corrente secundária:
    Para transformador ideal por fase vale I_{1\varphi}=\dfrac{I_{2\varphi}}{a}. Em estrela a corrente de fase é igual à corrente de linha, então
I_{1}=\frac{I_{2}}{a}=\frac{2{,}053{,}57}{50}\approx 41{,}07\\ \mathrm{A},
o que confirma o resultado acima. Interpretação: o lado de 625\\ \mathrm{kV} conduz uma corrente muito pequena (≈ 41\\ \mathrm{A}) por linha.

Passo 6

Determinar a carga suportada por cada um dos transformadores monofásicos do banco (por fase).
Raciocínio: em um banco Y–Y balanceado cada transformador monofásico carrega 1/3 da potência aparente total. Então:
S_{\text{fase}}=\frac{S}{3}=\frac{44{,}444{,}444{,}44}{3}=14{,}814{,}814{,}81\\ \mathrm{VA}\approx 14{,}81\\ \mathrm{MVA}.
A potência ativa por transformador:
P_{\text{fase}}=\frac{P}{3}=\frac{40\\ \mathrm{MW}}{3}=13{,}333{,}33\\ \mathrm{MW}\approx 13{,}33\\ \mathrm{MW}.
A potência reativa total Q e por fase: primeiro Q total é Q=S\sin\varphi com \cos\varphi=\mathrm{pf}. Calculando \sin\varphi=\sqrt{1-\mathrm{pf}^{2}}=\sqrt{1-0{,}9^{2}}=\sqrt{0{,}19}\approx 0{,}43589. Então
Q=S\sin\varphi\approx 44{,}444{,}444{,}44\times 0{,}43589\approx 19{,}37\\ \mathrm{MVAR}.
Por fase:
Q_{\text{fase}}=\frac{Q}{3}\approx \frac{19{,}37\\ \mathrm{MVAR}}{3}\approx 6{,}46\\ \mathrm{MVAR}.
Correntes por transformador (que são as correntes por fase do secundário/primário):
  • Corrente secundaria por transformador (fase): I_{2\varphi}=I_{2}=2{,}053{,}57\\ \mathrm{A} (em estrela a corrente de fase = corrente de linha).
  • Corrente primaria por transformador (fase): I_{1\varphi}=I_{1}=41{,}07\\ \mathrm{A}.
Resumo numérico por transformador (aproximado, arredondado a 2 casas decimais quando aplicável):
  • S_{\text{fase}}\approx 14{,}81\\ \mathrm{MVA}.
  • P_{\text{fase}}\approx 13{,}33\\ \mathrm{MW}.
  • Q_{\text{fase}}\approx 6{,}46\\ \mathrm{MVAR}.
  • Corrente secundária por transformador I_{2\varphi}\approx 2{,}053{,}57\\ \mathrm{A}.
  • Corrente primária por transformador I_{1\varphi}\approx 41{,}07\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Pequena recapitulação motivadora: você agora sabe exatamente quais fórmulas usar na prova — compute S com S=P/\mathrm{pf}, depois use S=\sqrt{3}V_L I_L para correntes e a razão de espiras entre linhas quando a ligação é estrela-estrela simplifica para a razão das tensões de linha. Se ficar nervoso, siga esses passos na ordem que fizemos. Força — você consegue!

Resposta

a) I_{2}=2{,}053{,}57\\ \mathrm{A}
b) relação de espiras a=\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=50{:}1
c) I_{1}=41{,}07\\ \mathrm{A}
d) por transformador: S_{\text{fase}}=14{,}81\\ \mathrm{MVA}; P_{\text{fase}}=13{,}33\\ \mathrm{MW}; Q_{\text{fase}}=6{,}46\\ \mathrm{MVAR}; corrente secundária 2{,}053{,}57\\ \mathrm{A}; corrente primária 41{,}07\\ \mathrm{A}.

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