Questão 01: Dada a densidade de corrente \vec{J}=-10^{4}\left[\operatorname{sen}(2 x) e^{-2 y} \hat{a}_{x}+\right. \left.\cos (2 x) e^{-2 y} \hat{a}_{y}\right] k A / m^{2} : (a) calcule a corrente total que deixa a região 0<x, y<1 ; 2< z<3 pela integração de \vec{J} \cdot \overrightarrow{d S} sobre a superfície do cubo. (b) Repita o item (a), mas utilizando o teorema da divergência. O resultado era esperado? Explique?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Calcular a corrente total que sai da região 0<x<1,\;0<y<1,\;2<z<3 efetuando a integral de superfície \displaystyle \iint_{\partial V} \vec{J}\cdot d\vec{S} sobre todas as faces do cubo (ou paralelepípedo).
  2. (b) Repetir o cálculo usando o teorema da divergência e responder se o resultado era esperado, justificando.
Informações dadas (tudo que vamos usar):
\vec{J} = -10^{4}\big[\sin(2x)\,e^{-2y}\,\hat{a}_x + \cos(2x)\,e^{-2y}\,\hat{a}_y\big]\\ \text{kA/m}^2.
A região é o sólido V:\;0<x<1,\;0<y<1,\;2<z<3. Note que \vec{J} depende só de x e y e não tem componente em \hat{a}_z.

Passo 2

Entendendo a integral de superfície para corrente total: a corrente que sai (fluxo de corrente) pelo contorno é
I_{\text{total}}=\iint_{\partial V}\vec{J}\cdot d\vec{S},
onde em cada face d\vec{S}=\hat{n}\,dS com \hat{n} a normal exterior. O paralelepípedo tem 6 faces: x=0,\;x=1,\;y=0,\;y=1,\;z=2,\;z=3. Como \vec{J} não tem componente em z, as faces z=2 e z=3 dão contribuição zero (pois \vec{J}\cdot\hat{a}_z=0). Assim só precisamos integrar nas faces dos planos x= const e y= const.
Vamos escrever as componentes:
J_x(x,y)=-10^{4}\sin(2x)\,e^{-2y},\qquad J_y(x,y)=-10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y},\qquad J_z=0.
Área de cada face paralela ao eixo z é dS = d(\text{variável de face})\times dzá. Como z varia de 2 a 3, o comprimento em z é 3-2=1, o que simplifica as integrais (um fator 1).

Passo 3

Calculemos face a face (detalhando sinais das normais):
  1. Face x=1. Normal exterior \hat{n}=+\hat{a}_x. Área diferencial dS = dy\,dz. Contribuição:
I_{x=1}=\int_{y=0}^{1}\int_{z=2}^{3} J_x(1,y)\,dz\,dy = (3-2)\int_{0}^{1} J_x(1,y)\,dy = \int_{0}^{1} -10^{4}\sin(2)\,e^{-2y}\,dy.
Fator comum: -10^{4}\sin(2). Calcule a integral em y:
\int_{0}^{1} e^{-2y}\,dy = \left[-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big).
Logo
I_{x=1} = -10^{4}\sin(2)\cdot \tfrac{1}{2}\big(1-e^{-2}\big) = -5\times10^{3}\sin(2)\big(1-e^{-2}\big).
  1. Face x=0. Normal exterior \hat{n}=-\hat{a}_x. Contribuição:
I_{x=0}=\int_{y=0}^{1}\int_{z=2}^{3} \vec{J}\cdot(-\hat{a}_x)\,dz\,dy = -\int_{0}^{1} J_x(0,y)\,dy.
Mas \sin(0)=0, então J_x(0,y)= -10^{4}\sin(0)\,e^{-2y}=0. Portanto
I_{x=0}=0.
  1. Face y=1. Normal exterior \hat{n}=+\hat{a}_y. Área diferencial dS = dx\,dz. Contribuição:
I_{y=1}=\int_{x=0}^{1}\int_{z=2}^{3} J_y(x,1)\,dz\,dx = (3-2)\int_{0}^{1} -10^{4}\cos(2x)\,e^{-2}\,dx = -10^{4}e^{-2}\int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx.
Calcule a integral em x:
\int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\sin(2).
Logo
I_{y=1} = -10^{4}e^{-2}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2) = -5\times10^{3} e^{-2}\sin(2).
  1. Face y=0. Normal exterior \hat{n}=-\hat{a}_y. Contribuição:
I_{y=0} = -\int_{x=0}^{1} J_y(x,0)\,dx = -\int_{0}^{1} -10^{4}\cos(2x)\,dx = 10^{4}\int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx.
Usando a integral já calculada,
I_{y=0} = 10^{4}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2) = 5\times10^{3}\sin(2).

Passo 4

Somando as contribuições:
I_{\text{total}} = I_{x=1}+I_{x=0}+I_{y=1}+I_{y=0}.
Substituindo:
I_{\text{total}} = \big[-5\cdot10^{3}\sin(2)(1-e^{-2})\big] + 0 + \big[-5\cdot10^{3}e^{-2}\sin(2)\big] + \big[5\cdot10^{3}\sin(2)\big].
Agrupando termos:
I_{\text{total}} = -5\cdot10^{3}\sin(2) + 5\cdot10^{3}\sin(2)e^{-2} -5\cdot10^{3}e^{-2}\sin(2) + 5\cdot10^{3}\sin(2) = 0.
Portanto, pela integração direta sobre a superfície, a corrente total que sai da região é 0.

Passo 5

Agora usar o teorema da divergência (Gauss). Enunciado do teorema (em palavras): a integral de fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada \partial V é igual à integral do divergente do campo no volume V:
\iint_{\partial V}\vec{J}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{J})\,dV.
Calculemos \nabla\cdot\vec{J}. Como \vec{J}=(J_x,J_y,0),
\nabla\cdot\vec{J}=\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z}.
Compute term a term:
\frac{\partial J_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-10^{4}\sin(2x)\,e^{-2y}\big) = -10^{4}\cdot (2\cos(2x))\,e^{-2y} = -2\cdot10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y}.
\frac{\partial J_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y}\big) = -10^{4}\cos(2x)\cdot(-2)e^{-2y} = +2\cdot10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y}.
E \partial J_z/\partial z = 0 porque J_z=0. Somando:
\nabla\cdot\vec{J} = -2\cdot10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y} + 2\cdot10^{4}\cos(2x)\,e^{-2y} = 0.
Assim \nabla\cdot\vec{J}=0 em todo o volume. Pelo teorema da divergência:
\iint_{\partial V}\vec{J}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V} 0\,dV = 0.
Concorda com o resultado da integração direta.

Passo 6

Interpretação física e conclusão: \nabla\cdot\vec{J}=0 significa que não há fontes nem sumidouros de corrente no interior do volume (corrente conservada localmente). Portanto o fluxo líquido saindo de qualquer volume fechado é zero — esperado. Além disso, o fato de \vec{J} não ter componente em z simplificou os cálculos das faces superiores e inferiores.
Um comentário encorajador: quando surgir um campo cuja divergência é fácil de calcular e der zero, usar o teorema da divergência evita calcular várias integrais de superfície — é a forma mais elegante e rápida na prova.

Resposta

(a) 0 (kA)\n(b) 0 (kA). Sim — era esperado, pois \nabla\cdot\vec{J}=0 no volume, logo o fluxo total através da superfície fechada é zero.

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