Questão 01: Dada a densidade de corrente \vec{J}=-10^{4}\left[\operatorname{sen}(2 x) e^{-2 y} \hat{a}_{x}+\right. \left.\cos (2 x) e^{-2 y} \hat{a}_{y}\right] k A / m^{2} : (a) calcule a corrente total que deixa a região 0<x, y<1 ; 2< z<3 pela integração de \vec{J} \cdot \overrightarrow{d S} sobre a superfície do cubo. (b) Repita o item (a), mas utilizando o teorema da divergência. O resultado era esperado? Explique?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Calcular a corrente total que sai da região 0<x<1,\;0<y<1,\;2<z<3 efetuando a integral de superfície \displaystyle \iint_{\partial V} \vec{J}\cdot d\vec{S} sobre todas as faces do cubo (ou paralelepípedo).
(b) Repetir o cálculo usando o teorema da divergência e responder se o resultado era esperado, justificando.
onde em cada face d\vec{S}=\hat{n}\,dS com \hat{n} a normal exterior. O paralelepípedo tem 6 faces: x=0,\;x=1,\;y=0,\;y=1,\;z=2,\;z=3. Como \vec{J} não tem componente em z, as faces z=2 e z=3 dão contribuição zero (pois \vec{J}\cdot\hat{a}_z=0). Assim só precisamos integrar nas faces dos planos x= const e y= const.
Área de cada face paralela ao eixo z é dS = d(\text{variável de face})\times dzá. Como z varia de 2 a 3, o comprimento em z é 3-2=1, o que simplifica as integrais (um fator 1).
Passo 3
Calculemos face a face (detalhando sinais das normais):
Face x=1. Normal exterior \hat{n}=+\hat{a}_x. Área diferencial dS = dy\,dz. Contribuição:
Portanto, pela integração direta sobre a superfície, a corrente total que sai da região é 0.
Passo 5
Agora usar o teorema da divergência (Gauss). Enunciado do teorema (em palavras): a integral de fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada \partial V é igual à integral do divergente do campo no volume V:
Interpretação física e conclusão: \nabla\cdot\vec{J}=0 significa que não há fontes nem sumidouros de corrente no interior do volume (corrente conservada localmente). Portanto o fluxo líquido saindo de qualquer volume fechado é zero — esperado. Além disso, o fato de \vec{J} não ter componente em z simplificou os cálculos das faces superiores e inferiores.
Um comentário encorajador: quando surgir um campo cuja divergência é fácil de calcular e der zero, usar o teorema da divergência evita calcular várias integrais de superfície — é a forma mais elegante e rápida na prova.
Resposta
(a) 0 (kA)\n(b) 0 (kA). Sim — era esperado, pois \nabla\cdot\vec{J}=0 no volume, logo o fluxo total através da superfície fechada é zero.