Exercício 1. Translação em E^{3} : Um sistema de coordenadas Σ_{2}=\left(O^{\prime} ; \mathcal{E}\right) é obtido por uma translação pura do sistema Σ_{1}=(O ; \mathcal{E}). A nova origem é O^{\prime}=(-\mathbf{3}, \mathbf{4},-\mathbf{1})_{Σ_{1}}.
  • Escreva as equações de mudança de coordenadas de Σ_{1} para Σ_{2}( de (x, y, z) para (u, v, w)).
  • Determine as coordenadas do ponto P=(\mathbf{0}, \mathbf{5}, \mathbf{2})_{Σ_{1}} no novo sistema Σ_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: há dois sistemas de coordenadas relacionados por uma translação pura. O sistema original é \Sigma_{1}=(O;\mathcal{E}) e o traduzido é \Sigma_{2}=(O';\mathcal{E}).
  • Informação: a nova origem tem coordenadas em \Sigma_{1} iguais a \,O' = (-3,\,4,\,-1)_{\Sigma_{1}}\,.
  • Informação: as bases \mathcal{E} são as mesmas (isto é, não há rotação, só translação).
  • Pergunta 1: escrever as equações de mudança de coordenadas de \Sigma_{1} para \Sigma_{2} (isto é, como passar de (x,y,z) para (u,v,w)).
  • Pergunta 2: determinar as coordenadas de P=(0,\,5,\,2)_{\Sigma_{1}} no sistema \Sigma_{2}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática curta): quando só há translação, vetores posição se relacionam por adição. Se \vec{OP} é o vetor posição de um ponto P medido a partir de O (coordenadas (x,y,z) em \Sigma_{1}) e \vec{O'P} é o vetor posição do mesmo ponto medido a partir de O' (coordenadas (u,v,w) em \Sigma_{2}), então vale a igualdade vetorial
\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}.
Isto vem da decomposição do caminho O\to P em O\to O' seguido por O'\to P.

Passo 3

Tradução do conceito para componentes (expliquei passo a passo para a prova).
  • A coordenada do vetor \vec{OO'} em \Sigma_{1} é exatamente o dado do enunciado: \vec{OO'} = (-3,\,4,\,-1)_{\Sigma_{1}}.
  • Como as bases \mathcal{E} são as mesmas (eixos paralelos), as componentes do vetor \vec{O'P} vistas em \Sigma_{1} são numericamente iguais às componentes (u,v,w) que o ponto tem em \Sigma_{2}. Ou seja, podemos somar componentes diretamente.
Portanto, escrevendo a igualdade vetorial em componentes obtemos
(x,\,y,\,z) = (-3,\,4,\,-1) + (u,\,v,\,w).

Passo 4

Desenvolvendo as componentes da igualdade acima (aqui já faço as contas que você pode reproduzir na prova sem calculadora):
Da igualdade
(x,\,y,\,z) = (-3,\,4,\,-1) + (u,\,v,\,w)
vem, componente a componente,
x = -3 + u, \qquad y = 4 + v, \qquad z = -1 + w.
Agora isolo (u,v,w) porque a pergunta pede a mudança de (x,y,z) para (u,v,w). Resolvendo cada uma:
u = x + 3, \qquad v = y - 4, \qquad w = z + 1.

Passo 5

Interpretação rápida para decorar: para passar de \Sigma_{1} para \Sigma_{2} adiciona-se (+3,\,-4,\,+1) às coordenadas de \Sigma_{1}. Em palavras: como O' está em (-3,4,-1) relativo a O, ao medir a partir de O' as coordenadas do ponto aumentam em +3 na primeira componente, diminuem em 4 na segunda e aumentam em 1 na terceira.

Passo 6

Cálculo das coordenadas do ponto pedido. O enunciado dá P=(0,\,5,\,2)_{\Sigma_{1}}. Aplicando as fórmulas encontradas:
u = x+3 = 0+3 = 3, \qquad v = y-4 = 5-4 = 1, \qquad w = z+1 = 2+1 = 3.
Logo em \Sigma_{2} o ponto P tem coordenadas (3,\,1,\,3)_{\Sigma_{2}}.

Resposta

\begin{cases} u = x + 3\\[4pt] v = y - 4\\[4pt] w = z + 1 \end{cases}
(3,\,1,\,3)_{\Sigma_{2}}]

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