Exercício 1. Translação em
: Um sistema de coordenadas
é obtido por uma translação pura do sistema
. A nova origem é
.
- Escreva as equações de mudança de coordenadas de
para
de
para
.
- Determine as coordenadas do ponto
no novo sistema
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: há dois sistemas de coordenadas relacionados por uma translação pura. O sistema original é
e o traduzido é . - Informação: a nova origem tem coordenadas em
iguais a . - Informação: as bases
são as mesmas (isto é, não há rotação, só translação). - Pergunta 1: escrever as equações de mudança de coordenadas de
para (isto é, como passar de para ). - Pergunta 2: determinar as coordenadas de
no sistema .
Passo 2
Conceito chave (explicação didática curta): quando só há translação, vetores posição se relacionam por adição. Se
é o vetor posição de um ponto
medido a partir de
(coordenadas
em
) e
é o vetor posição do mesmo ponto medido a partir de
(coordenadas
em
), então vale a igualdade vetorial
Isto vem da decomposição do caminho
em
seguido por
.
Passo 3
Tradução do conceito para componentes (expliquei passo a passo para a prova).
- A coordenada do vetor
em é exatamente o dado do enunciado: . - Como as bases
são as mesmas (eixos paralelos), as componentes do vetor vistas em são numericamente iguais às componentes que o ponto tem em . Ou seja, podemos somar componentes diretamente.
Portanto, escrevendo a igualdade vetorial em componentes obtemos
Passo 4
Desenvolvendo as componentes da igualdade acima (aqui já faço as contas que você pode reproduzir na prova sem calculadora):
Da igualdade
vem, componente a componente,
Agora isolo
porque a pergunta pede a mudança de
para
. Resolvendo cada uma:
Passo 5
Interpretação rápida para decorar: para passar de
para
adiciona-se
às coordenadas de
. Em palavras: como
está em
relativo a
, ao medir a partir de
as coordenadas do ponto aumentam em
na primeira componente, diminuem em
na segunda e aumentam em
na terceira.
Passo 6
Cálculo das coordenadas do ponto pedido. O enunciado dá
. Aplicando as fórmulas encontradas:
Logo em
o ponto
tem coordenadas
.