Exercício 2. Rotação Pura em
sistema
é obtido a partir de
por uma rotação pura de
no sentido anti-horário (as origens coincidem).
- Escreva as equações de mudança de coordenadas de
para
de
para
.
- Determine as coordenadas do ponto
no sistema
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado diz que o sistema
é obtido a partir de por uma rotação pura de no sentido anti-horário. As origens coincidem. - O enunciado pede duas coisas:
- Escrever as equações de mudança de coordenadas de
para , isto é, dar em função de . - Determinar as coordenadas do ponto
no sistema .
- Escrever as equações de mudança de coordenadas de
Passo 2
Entendendo a ideia geométrica (sem ainda calcular): quando se rotaciona um sistema de eixos em
por um ângulo
anti-horário, os vetores unitários dos eixos do sistema rotacionado podem ser escritos em termos do sistema original usando cosseno e seno. Se
e
são os eixos de
e
os eixos de
, então os vetores coluna das coordenadas de
e
em
formam a matriz de rotação.
Esta matriz de rotação no plano, para uma rotação anti-horária de ângulo
, é
Propriedades rápidas e úteis (para memória):
é ortogonal (
) e
. Isso também garante que rotações preservam comprimentos e ângulos.]
Passo 3
Derivando a fórmula de mudança de coordenadas: um ponto com coordenadas
em
representa o mesmo vetor geométrico que em
vale
onde
e
são os vetores unitários de
expressos em
. Esses vetores são justamente as colunas de
. Assim a relação é
Escrevendo em componentes, usando
, obtemos as equações de mudança de coordenadas:
(Isto é, multiplicar a matriz de rotação pelas coordenadas em
fornece as coordenadas em
.)]
Passo 4
Aplicando
. Sabendo que
substituímos em
e
. Assim:
Essas são as equações de mudança de coordenadas pedidas (de
em
para
em
).
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas ao ponto
, ou seja
.
Calcule
:
Fazendo contas passo a passo:
Calcule
:
mesma conta que para
.
Logo as coordenadas de
no sistema
são
.
Passo 6
Verificação rápida (intuitiva): rotações preservam distâncias. No sistema
o módulo de
é
No sistema
com coordenadas
o módulo é
coincidindo, o que confirma consistência.