Exercício 2. Rotação Pura em E^{2}: O sistema \Sigma_{2} é obtido a partir de \Sigma_{1} por uma rotação pura de \theta=\mathbf{4 5}^{\circ} no sentido anti-horário (as origens coincidem).
  • Escreva as equações de mudança de coordenadas de \Sigma_{2} para \Sigma_{1}( de (u, v) para (x, y)).
  • Determine as coordenadas do ponto P=(\mathbf{2} \sqrt{\mathbf{2}}, \mathbf{0})_{\Sigma_{2}} no sistema \Sigma_{1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado diz que o sistema \Sigma_{2} é obtido a partir de \Sigma_{1} por uma rotação pura de \theta=45^\circ no sentido anti-horário. As origens coincidem.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Escrever as equações de mudança de coordenadas de \Sigma_{2} para \Sigma_{1}, isto é, dar (x,y) em função de (u,v).
    2. Determinar as coordenadas do ponto P=(2\sqrt{2},0)_{\Sigma_{2}} no sistema \Sigma_{1}.

Passo 2

Entendendo a ideia geométrica (sem ainda calcular): quando se rotaciona um sistema de eixos em \mathbb{E}^2 por um ângulo \theta anti-horário, os vetores unitários dos eixos do sistema rotacionado podem ser escritos em termos do sistema original usando cosseno e seno. Se \mathbf{e}_x e \mathbf{e}_y são os eixos de \Sigma_{1} e \mathbf{e}_u,\mathbf{e}_v os eixos de \Sigma_{2}, então os vetores coluna das coordenadas de \mathbf{e}_u e \mathbf{e}_v em \Sigma_{1} formam a matriz de rotação.
Esta matriz de rotação no plano, para uma rotação anti-horária de ângulo \theta, é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Propriedades rápidas e úteis (para memória): R(\theta) é ortogonal ( R(\theta)^{-1}=R(\theta)^{T}) e \det R(\theta)=1. Isso também garante que rotações preservam comprimentos e ângulos.]

Passo 3

Derivando a fórmula de mudança de coordenadas: um ponto com coordenadas (u,v) em \Sigma_{2} representa o mesmo vetor geométrico que em \Sigma_{1} vale
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = u\,\mathbf{e}_u + v\,\mathbf{e}_v,
onde \mathbf{e}_u e \mathbf{e}_v são os vetores unitários de \Sigma_{2} expressos em \Sigma_{1}. Esses vetores são justamente as colunas de R(\theta). Assim a relação é
\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = R(\theta)\begin{pmatrix}u\\[4pt] v\end{pmatrix}.
Escrevendo em componentes, usando R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}, obtemos as equações de mudança de coordenadas:
x = u\cos\theta - v\sin\theta, \qquad y = u\sin\theta + v\cos\theta.
(Isto é, multiplicar a matriz de rotação pelas coordenadas em \Sigma_{2} fornece as coordenadas em \Sigma_{1}.)]

Passo 4

Aplicando \theta=45^\circ. Sabendo que
\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},
substituímos em \;x = u\cos\theta - v\sin\theta\; e \;y = u\sin\theta + v\cos\theta\;. Assim:
x = \frac{\sqrt{2}}{2}\,u - \frac{\sqrt{2}}{2}\,v = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(u-v),
y = \frac{\sqrt{2}}{2}\,u + \frac{\sqrt{2}}{2}\,v = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(u+v).
Essas são as equações de mudança de coordenadas pedidas (de (u,v) em \Sigma_{2} para (x,y) em \Sigma_{1}).

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas ao ponto P=(2\sqrt{2},0)_{\Sigma_{2}}, ou seja (u,v)=(2\sqrt{2},0).
Calcule x:
x = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(u-v) = \frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(2\sqrt{2}-0\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sqrt{2}.
Fazendo contas passo a passo:
\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{2}\sqrt{2})}{2} = \frac{2\cdot 2}{2} = 2.
Calcule y:
y = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(u+v) = \frac{\sqrt{2}}{2}\bigl(2\sqrt{2}+0\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sqrt{2} = 2,
mesma conta que para x.
Logo as coordenadas de P no sistema \Sigma_{1} são (2,2).

Passo 6

Verificação rápida (intuitiva): rotações preservam distâncias. No sistema \Sigma_{2} o módulo de P é
\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+0^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
No sistema \Sigma_{1} com coordenadas (2,2) o módulo é
\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
coincidindo, o que confirma consistência.

Resposta

x = u\cos 45^\circ - v\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(u-v)
y = u\sin 45^\circ + v\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(u+v)
P_{\Sigma_{1}} = (2,2)

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