Questão 6. Seja
e mostre que
é um autovalor de
e que seus autovetores tem a forma
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que é pedido:
- Mostrar que
é um autovalor (eigenvalue) de . - Mostrar que os autovetores correspondentes a esse autovalor têm a forma
.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
: para um vetor a imagem é . - Precisa-se encontrar valores escalares
e vetores tais que .
Passo 2
Definição e estratégia (aula rápida):
- Um número
é autovalor de uma transformação linear quando existe um vetor não-nulo tal que
- Esse vetor
é chamado autovetor associado a . - Estratégia prática: colocar
, calcular e igualar componente a componente a . Isso gera um sistema de equações que devemos resolver para e .
Passo 3
Aplicando a definição ao problema: seja
. Então
Queremos resolver
ou seja, em componentes:
Passo 4
Passando para equações algébricas componente a componente obtemos o sistema
Reescrevendo:
Expliquei cada termo:
- A primeira equação vem de igualar a primeira coordenada:
→ subtrai-se dos dois lados. - A segunda vem de igualar a segunda coordenada:
→ traz-se para forma .
Passo 5
Agora analisamos o caso
pedido no enunciado. Substituindo
nas equações do sistema:
Isso dá:
- da primeira equação:
; - da segunda equação:
, que é verdadeira para qualquer .
Portanto, para
os vetores que satisfazem
são exatamente aqueles com
e
arbitrário.
Passo 6
Lembrete importante: um autovetor não pode ser o vetor nulo. Assim, entre os vetores com
tomamos aqueles com
. Em notação, os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
Para ficar no formato pedido no enunciado (usando
como segunda coordenada), pode-se escrever os autovetores como
com
.
Passo 7
Interpretação geométrica e observação prática:
- Vetores da forma
estão sobre o eixo (reta vertical). A transformação multiplica a segunda coordenada por , logo qualquer vetor ao longo do eixo é apenas esticado por fator — isso é exatamente a condição de ser autovetor com autovalor . - Exemplo concreto:
, confirmando que é autovetor associado a . - O espaço próprio (eigenspace) associado a
é .
Resposta
Os autovetores associados a