Questão 6. Seja
\begin{aligned} T: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\\ (x, y) & \mapsto T(x, y)=(x, 2 y) \end{aligned}
e mostre que \lambda=2 é um autovalor de T e que seus autovetores tem a forma v=(0, x).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x,2y).
O que é pedido:
  • Mostrar que \lambda=2 é um autovalor (eigenvalue) de T.
  • Mostrar que os autovetores correspondentes a esse autovalor têm a forma v=(0,x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de T: para um vetor (x,y) a imagem é (x,2y).
  • Precisa-se encontrar valores escalares \lambda e vetores v\neq 0 tais que T(v)=\lambda v.

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida):
  • Um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de uma transformação linear T quando existe um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 tal que
T(v)=\lambda v.
  • Esse vetor v é chamado autovetor associado a \lambda.
  • Estratégia prática: colocar v=(x,y), calcular T(x,y) e igualar componente a componente a \lambda(x,y). Isso gera um sistema de equações que devemos resolver para \lambda e (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Aplicando a definição ao problema: seja v=(x,y). Então
T(x,y)=(x,2y).
Queremos resolver
T(x,y)=\lambda(x,y),
ou seja, em componentes:
(x,2y)=(\lambda x,\lambda y).

Passo 4

Passando para equações algébricas componente a componente obtemos o sistema
x=\lambda x, \qquad 2y=\lambda y.
Reescrevendo:
(\lambda-1)x=0, \qquad (2-\lambda)y=0.
Expliquei cada termo:
  • A primeira equação vem de igualar a primeira coordenada: x=\lambda x → subtrai-se \lambda x dos dois lados.
  • A segunda vem de igualar a segunda coordenada: 2y=\lambda y → traz-se para forma (2-\lambda)y=0.

Passo 5

Agora analisamos o caso \lambda=2 pedido no enunciado. Substituindo \lambda=2 nas equações do sistema:
(2-1)x= x=0, \qquad (2-2)y=0\cdot y=0.
Isso dá:
  • da primeira equação: x=0;
  • da segunda equação: 0=0, que é verdadeira para qualquer y.
Portanto, para \lambda=2 os vetores que satisfazem T(v)=2v são exatamente aqueles com x=0 e y arbitrário.

Passo 6

Lembrete importante: um autovetor não pode ser o vetor nulo. Assim, entre os vetores com x=0 tomamos aqueles com y\neq 0. Em notação, os autovetores associados a \lambda=2 são todos os vetores da forma
v=(0,y)\quad\text{com}\quad y\neq 0.
Para ficar no formato pedido no enunciado (usando x como segunda coordenada), pode-se escrever os autovetores como v=(0,x) com x\neq 0.

Passo 7

Interpretação geométrica e observação prática:
  • Vetores da forma (0,y) estão sobre o eixo y (reta vertical). A transformação T multiplica a segunda coordenada por 2, logo qualquer vetor ao longo do eixo y é apenas esticado por fator 2 — isso é exatamente a condição de ser autovetor com autovalor 2.
  • Exemplo concreto: T(0,3)=(0,6)=2(0,3), confirmando que (0,3) é autovetor associado a \lambda=2.
  • O espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda=2 é \operatorname{span}\{(0,1)\}.

Resposta

\lambda=2 é autovalor de T.
Os autovetores associados a \lambda=2 são todos os vetores da forma (0,x) com x\neq0 (ou seja, \operatorname{span}\{(0,1)\}\setminus\{0\}).

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