Questão 8. Seja
operado linear e
seu operador adjunto. Mostre que
e
. Conclua que
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado nos dá um operador linear
em um espaço vetorial com produto interno (ou seja, um espaço pré-Hilbertiano). Denota-se por o adjunto de . - O adjunto
satisfaz, por definição, para todos :
- O enunciado pede para mostrar as igualdades de subespaços:
e concluir as decomposições diretas ortogonais
Observação: vou trabalhar no caso usual em álgebra linear (espaço com produto interno e finito-dimensional), onde subespaços ortogonais têm complementos diretos. Se o espaço for infinito-dimensional, apareceria a necessidade de considerar fechamentos; mas o enunciado clássico assume finitude.
Passo 2
Definição e propriedade básica que usarei frequentemente.
- Definição do adjunto:
é o operador que satisfaz, para todos ,
Isto significa que a ação de
em
na primeira coordenada do produto interno se transfere para a ação de
na segunda coordenada.
- Definição de núcleo e imagem:
- Definição de ortogonal: dado um subespaço
,
- Propriedade do produto interno (não degenerescência): se
para todo , então . Vou usar isso para deduzir vetores nulos a partir de produtos internos todos nulos.
Passo 3
Prova de
.
Seja
. Então
. Para qualquer
temos, pela propriedade do adjunto,
Como
percorre todos os elementos de
, isto mostra que
para todo
. Portanto
. Assim
Passo 4
Prova de
.
Seja
. Então para todo
tem-se
. Pela definição do adjunto,
Pela não degenerescência do produto interno, se
para todo
então
. Aplicando isso com
obtemos
. Logo
. Portanto
Passo 5
Conclusão da primeira igualdade.
Dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
Isto já resolve a primeira parte pedida.
Passo 6
Prova de
.
Seja
. Então existe
tal que
. Para qualquer
temos
, então
Assim
é ortogonal a todo
, ou seja
. Logo
Passo 7
Prova da igualdade
usando contagem de dimensões (rank–nullity).
Vamos comparar dimensões. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) em espaço finito-dimensional:
Do Passo 5 temos
, então
Logo a dimensão da imagem de
é
Por outro lado,
(novamente pelo rank–nullity para
). Portanto
.
Já provamos no Passo 6 que
. Temos uma inclusão entre subespaços de mesma dimensão finita, portanto essa inclusão é, na verdade, igualdade. Concluímos:
Passo 8
Conclusão das decomposições diretas ortogonais.
Fato geral: para qualquer subespaço
de um espaço com produto interno finito-dimensional temos a decomposição ortogonal
isto é, todo vetor pode ser escrito de maneira única como soma de um vetor em
e um vetor em
.
Aplicando esse fato às igualdades já demonstradas:
- Como
, tem-se
- Como
, tem-se
Essas são exatamente as decomposições pedidas.