Questão 8. Seja T: V \longrightarrow V operado linear e T^{*}: V \longrightarrow V seu operador adjunto. Mostre que \operatorname{ker} T^{*}=(\Im T)^{\perp} e \Im T^{*}=(\operatorname{ker} T)^{*}. Conclua que V=\Im T^{*} \oplus \operatorname{ker} T e V=\Im T \oplus \operatorname{ker} T^{*}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado nos dá um operador linear T: V \to V em um espaço vetorial V com produto interno (ou seja, um espaço pré-Hilbertiano). Denota-se por T^{*}:V\to V o adjunto de T.
  • O adjunto T^{*} satisfaz, por definição, para todos u,v\in V:
\langle T u, v\rangle=\langle u, T^{*}v\rangle.
  • O enunciado pede para mostrar as igualdades de subespaços:
\ker T^{*}=(\Im T)^{\perp} \qquad\text{e}\qquad \Im T^{*}=(\ker T)^{\perp},
e concluir as decomposições diretas ortogonais
V=\Im T^{*}\oplus\ker T \qquad\text{e}\qquad V=\Im T\oplus\ker T^{*}.
Observação: vou trabalhar no caso usual em álgebra linear (espaço com produto interno e finito-dimensional), onde subespaços ortogonais têm complementos diretos. Se o espaço for infinito-dimensional, apareceria a necessidade de considerar fechamentos; mas o enunciado clássico assume finitude.

Passo 2

Definição e propriedade básica que usarei frequentemente.
  • Definição do adjunto: T^{*} é o operador que satisfaz, para todos u,v\in V,
\langle T u, v\rangle=\langle u, T^{*}v\rangle.
Isto significa que a ação de T em u na primeira coordenada do produto interno se transfere para a ação de T^{*} na segunda coordenada.
  • Definição de núcleo e imagem:
\ker T=\{v\in V \mid T v=0\},\qquad \Im T=\{T v\mid v\in V\}.
  • Definição de ortogonal: dado um subespaço W\subset V,
W^{\perp}=\{x\in V \mid \langle x,w\rangle=0\\ \text{para todo }w\in W\}.
  • Propriedade do produto interno (não degenerescência): se \langle x,y\rangle=0 para todo y\in V, então x=0. Vou usar isso para deduzir vetores nulos a partir de produtos internos todos nulos.

Passo 3

Prova de \ker T^{*}\subset (\Im T)^{\perp}.
Seja x\in\ker T^{*}. Então T^{*}x=0. Para qualquer y\in V temos, pela propriedade do adjunto,
\langle T y, x\rangle=\langle y, T^{*}x\rangle=\langle y,0\rangle=0.
Como T y percorre todos os elementos de \Im T, isto mostra que \langle z,x\rangle=0 para todo z\in\Im T. Portanto x\in(\Im T)^{\perp}. Assim
\ker T^{*}\subset(\Im T)^{\perp}.

Passo 4

Prova de (\Im T)^{\perp}\subset\ker T^{*}.
Seja x\in(\Im T)^{\perp}. Então para todo y\in V tem-se \langle T y, x\rangle=0. Pela definição do adjunto,
\langle y, T^{*}x\rangle=\langle T y, x\rangle=0\quad\text{para todo }y\in V.
Pela não degenerescência do produto interno, se \langle y, w\rangle=0 para todo y então w=0. Aplicando isso com w=T^{*}x obtemos T^{*}x=0. Logo x\in\ker T^{*}. Portanto
(\Im T)^{\perp}\subset\ker T^{*}.

Passo 5

Conclusão da primeira igualdade.
Dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
\ker T^{*}=(\Im T)^{\perp}.
Isto já resolve a primeira parte pedida.

Passo 6

Prova de \Im T^{*}\subset(\ker T)^{\perp}.
Seja z\in\Im T^{*}. Então existe x\in V tal que z=T^{*}x. Para qualquer v\in\ker T temos T v=0, então
\langle v, z\rangle=\langle v, T^{*}x\rangle=\langle T v, x\rangle=\langle 0, x\rangle=0.
Assim z é ortogonal a todo v\in\ker T, ou seja z\in(\ker T)^{\perp}. Logo
\Im T^{*}\subset(\ker T)^{\perp}.

Passo 7

Prova da igualdade \Im T^{*}=(\ker T)^{\perp} usando contagem de dimensões (rank–nullity).
Vamos comparar dimensões. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) em espaço finito-dimensional:
\dim V=\dim\ker T+\dim\Im T.
Do Passo 5 temos \ker T^{*}=(\Im T)^{\perp}, então
\dim\ker T^{*}=\dim(\Im T)^{\perp}=\dim V-\dim\Im T.
Logo a dimensão da imagem de T^{*} é
\dim\Im T^{*}=\dim V-\dim\ker T^{*}=\dim V-(\dim V-\dim\Im T)=\dim\Im T.
Por outro lado,
\dim(\ker T)^{\perp}=\dim V-\dim\ker T=\dim\Im T
(novamente pelo rank–nullity para T). Portanto \dim\Im T^{*}=\dim(\ker T)^{\perp}.
Já provamos no Passo 6 que \Im T^{*}\subset(\ker T)^{\perp}. Temos uma inclusão entre subespaços de mesma dimensão finita, portanto essa inclusão é, na verdade, igualdade. Concluímos:
\Im T^{*}=(\ker T)^{\perp}.

Passo 8

Conclusão das decomposições diretas ortogonais.
Fato geral: para qualquer subespaço W de um espaço com produto interno finito-dimensional temos a decomposição ortogonal
V=W\oplus W^{\perp},
isto é, todo vetor pode ser escrito de maneira única como soma de um vetor em W e um vetor em W^{\perp}.
Aplicando esse fato às igualdades já demonstradas:
  • Como \Im T^{*}=(\ker T)^{\perp}, tem-se
V=\Im T^{*}\oplus\ker T.
  • Como \ker T^{*}=(\Im T)^{\perp}, tem-se
V=\Im T\oplus\ker T^{*}.
Essas são exatamente as decomposições pedidas.

Resposta

\ker T^{*}=(\Im T)^{\perp}
\Im T^{*}=(\ker T)^{\perp}
V=\Im T^{*}\oplus\ker T
V=\Im T\oplus\ker T^{*}

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