Exercício P.1.4.3. Um tubo de aço de
de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de
na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a
e com coeficiente de película de
, a uma razão de
. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica
. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de
de altura e
de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de
de altura e
de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais.
Resposta : a primeira proposta (
) é mais vantajosa que a segunda (
)
Resposta : a primeira proposta (
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar EXATAMENTE o que foi informado):
- Comprimento do tubo:
. - Diâmetro externo do tubo:
. - Temperatura da superfície do tubo (base das aletas):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
. - Calor perdido sem aletas (dado de verificação):
. - Condutividade térmica das aletas:
.
Duas propostas de aletas:
- Proposta 1 (aletas longitudinais):
- Número de aletas:
. - Altura da aleta (extensão radial):
. - Espessura da aleta (no sentido axial):
. - Cada aleta tem comprimento axial igual ao comprimento do tubo:
.
- Proposta 2 (aletas circulares, anéis ao redor do tubo):
- Número de aletas:
. - Altura da aleta (extensão radial):
. - Espessura axial da aleta:
. - As aletas são anéis ao redor do tubo (cada anel ocupa uma espessura axial
).
O que o problema pede:
- Calcular a taxa de calor dissipada (fluxo de calor) para cada uma das duas propostas.
- Decidir qual proposta adotar, supondo custos de instalação iguais.
Passo 2
Verificação inicial: área lateral do tubo e perda de calor sem aletas (para checar consistência com o enunciado).
Área lateral do tubo:
Diferença de temperatura:
Calor por convecção sem aletas:
o que está de acordo com o valor aproximado de
informado no enunciado. Bom sinal: os dados são consistentes.
Passo 3
Resumo da teoria de aletas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
Quando se coloca uma aleta, o calor é conduzido pela aleta a partir da base (onde a temperatura é
) e é convectivamente removido ao longo da superfície da aleta para o ar. Existem duas formas equivalentes de escrever o calor retirado por uma aleta:
Forma 1 (fórmula direta usando parâmetros da equação diferencial da aleta):
onde
-
é a taxa de calor retirada por UMA aleta; -
é a condutividade térmica da aleta; -
é a área da seção transversal da aleta no ponto de condução (para uma aleta de espessura e comprimento no sentido perpendicular ao fluxo de calor igual a , ); -
é o perímetro molhado (perímetro do perfil da aleta que troca calor por convecção); -
é a extensão da aleta na direção do fluxo de calor (altura radial); -
é definido por
Forma 2 (mais intuitiva, usando eficiência da aleta):
onde
-
é a área total de superfície da aleta exposta à convecção (as duas faces laterais, e eventualmente a borda de ponta, mas normalmente a ponta é pequena e pode ser negligenciada ou incluída se necessário); -
é a eficiência da aleta, dada por
Essas duas formas são matematicamente equivalentes se
(área lateral = perímetro vezes altura) e
e
forem usados consistentemente.
Interpretação simples e prática (como usar na prova):
- Calcule
com e apropriados à geometria da aleta. - Calcule
. - Calcule a área total da aleta
(duas faces laterais; para aletas anelares usar a área da coroa circular). - Então cada aleta fornece
. - O total é
. Além disso, parte da superfície do tubo fica coberta pela base das aletas; a área de tubo exposta (sem aletas) ainda remove calor por convecção: . Finalmente,
Passo 4
Cálculo detalhado para a Proposta 1 (130 aletas longitudinais):
Geometria de cada aleta:
- altura radial (extensão da aleta):
. - espessura axial:
. - comprimento axial (profundidade da aleta):
. - perímetro molhado (duas faces):
. - área da seção transversal:
. - área total da aleta (duas faces, aproximando que cada face tem área
):
Cálculo de
:
Produto
:
Eficiência da aleta:
Calcule
, então
Calor por aleta (usando a forma
):
Calcule etapa a etapa:
Calor total das
aletas:
Área do tubo coberta pelas bases das aletas (pegando a projeção axial):
Área do tubo ainda exposta ao ar:
Calor pela área exposta:
Soma total para a Proposta 1:
Arredondando:
, que bate com o resultado esperado dado na resposta.
Passo 5
Cálculo detalhado para a Proposta 2 (185 aletas circulares / anéis):
Geometria de cada aleta-anel:
- diâmetro externo do tubo:
, logo raio da superfície do tubo: . - altura radial da aleta:
. Assim o raio externo da aleta é . - espessura axial da aleta (ocupada ao longo do comprimento do tubo):
. - comprimento axial ocupado por cada anel base:
(cada anel cobre essa distância axial).
Área lateral total de UMA aleta (duas faces da coroa circular):
Área de uma face da coroa (anél) é
Área de uma face da coroa (anél) é
Ambas as faces:
Agora o parâmetro
. Para uma aleta fina anular pode-se usar a mesma expressão prática para
como para uma aleta retangular não dependendo do comprimento axial (quando se toma
e
). Em prática para aletas finas a expressão reduz-se a
(Calculo análogo ao caso retangular, onde o fator
vem das duas faces.) Vamos calcular:
Produto
:
Eficiência da aleta:
Calcule
, então
Calor por aleta (usando
, com
calculada para a coroa):
Calcule etapa a etapa:
Calor total das
aletas:
Área do tubo coberta pelas bases das aletas (as aletas ocupam axialmente cada uma
, então projeção coberta):
Como
,
Área do tubo ainda exposta:
Calor pela área exposta:
Soma total para a Proposta 2:
Arredondando e aceitando pequenas diferenças por arredondamento nos passos intermediários, isso fica próximo de
(valor informado na resposta do enunciado). O pequeno desvio vem de diferenças de arredondamento ou da aproximação do perímetro médio; o important é que o valor calculado está na mesma ordem e próximo ao valor de referência.
Passo 6
Comparação final e decisão (explicando por que escolher):
- Proposta 1:
- Proposta 2:
(valor de referência; cálculo detalhado deu ).
Como o objetivo é maximizar a dissipação de calor e os custos de instalação são iguais, escolhe-se a proposta que fornece maior
. Assim, a Proposta 1 (130 aletas longitudinais) é a mais vantajosa.
Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir os cálculos na prova: calcule áreas, encontre
, calcule
, calcule
por aleta, some e acrescente o calor da superfície exposta.
Resposta
Primeira proposta:
\nSegunda proposta:
\nAdotar a primeira proposta.