Exercício P.1.4.4. Um tubo horizontal de diâmetro
conduz um produto a
, com coeficiente de película
. O tubo é de aço, de condutividade térmica
, tem
de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a
, com coeficiente de película
. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de
de espessura e
de altura. Pede-se :
a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.
a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei os números do enunciado):
- Diâmetro do tubo:
Raio: - Temperatura do produto (no interior):
- Coeficiente de película no interior:
- O tubo é de aço com condutividade térmica
- Comprimento do tubo:
- Tanque de água:
- Coeficiente de película externo:
- Aletas:
aletas por centímetro de tubo. - Espessura da aleta:
- Altura da aleta (radial):
O que se pede:
(a) fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
(b) fluxo de calor pelo tubo quando possuir as aletas.
(a) fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
(b) fluxo de calor pelo tubo quando possuir as aletas.
Observações importantes (decisões de modelo que vou usar):
- O enunciado não dá espessura da parede do tubo. Vou assumir que o tubo é de parede fina, de modo que a resistência por condução através da parede é pequena comparada às resistências convectivas. Vou verificar numericamente que essa resistência é desprezível (faço essa verificação no passo seguinte).
- Para as aletas circulares vou modelá‑las como aletas finas anelares (placas annulares). Para calcular a eficácia de uma aleta uso a aproximação de aleta retangular de espessura
e comprimento com convecção em ambas as faces (fórmula padrão), e transformo a área real da aleta (anel) para efeito do cálculo da área eficaz.
Passo 2
Cálculo do fluxo sem aletas (metodologia e fórmulas).
Teoria rápida (sem pular passos):
- O fluxo de calor estacionário é dado por
onde
é a soma das resistências térmicas em série: resistência por convecção interna, resistência por condução na parede do tubo (se não desprezada) e resistência por convecção externa:
- Resistência convectiva interna:
onde
é a área de troca interna. Para um tubo longo
(usando o diâmetro do fluido).
- Resistência convectiva externa para o tubo liso (sem aletas):
com
(para parede fina
).
- Resistência de condução através da parede cilíndrica (se considerar) é
Como a espessura do tubo não foi dada, assumimos parede fina; porém vamos estimar
supondo uma espessura típica pequena (por exemplo
) para verificar que é desprezível.
Cálculos numéricos (passo a passo):
- Área do tubo (interna/externa, assumindo parede fina):
Calculemos:
- Resistências convectivas:
Calculando:
- Verificação da resistência de condução (supondo espessura da parede
apenas para estimar):
Calculando:
Observação:
é pequeno diante de
(cerca de
), portanto desprezá‑lo é razoável. Vou, para simplicidade e porque o enunciado não fornece espessura do tubo, neglectar
nos cálculos finais (mas já verifiquei que seria pequeno).
- Assim
:
- Diferença de temperatura entre interior e água:
- Fluxo sem aletas:
Passo 3
Interpretação e checagem do resultado do item (a).
- Resultado obtido:
- Comentário prático: como
é bastante grande e menor, a resistência externa domina; colocar aletas externas tende a reduzir significativamente a resistência externa e, portanto, aumentar . Vamos calcular isso no item (b).
Passo 4
Modelagem das aletas e das áreas (metodologia para o item b).
Princípios usados:
- Cada aleta é uma chapa anelar (um anel circular) de espessura
e altura radial . A área convectante de uma aleta (duas faces) é exatamente
onde
é o raio do tubo e
é o raio externo da aleta.
- A eficiência de uma aleta fina de espessura
, comprimento com convecção em ambas as faces usa o parâmetro definido por (fórmula padrão para placa fina com convecção em duas faces)
A eficiência aproximada (aqui uso a forma padrão com ponta convectiva desprezada ou pequena correção; para
moderado usa‑se)
Essa expressão é a forma prática e usual para aletas planas finas com convecção em ambas as faces.
- A contribuição efetiva de cada aleta à área de troca é
. - A área de tubo não coberta pelas aletas (área livre entre bases das aletas) também contribui como área nua (bare)
. Cada aleta ocupa axialmente uma largura igual à sua espessura . Assim:
onde
é o número total de aletas.
- O valor eficaz total da área externa é
- A resistência externa então será
. A resistência interna permanece igual calculada antes. Desprezamos novamente a condução através da parede.
Passo 5
Cálculos numéricos das aletas (passo a passo).
- Número de aletas:
-
aletas por centímetro de tubo. O comprimento do tubo é .
- Geometria da aleta:
Área real de convecção (duas faces) de uma aleta:
Calculando:
- Parâmetro
da aleta (usar , pois a convecção relevante nas faces é com a água):
Calculemos passo a passo:
- Produto
:
Tanh:
- Eficiência da aleta:
Comentário: essa eficiência relativamente baixa (≈22,5%) é típica quando as aletas são relativamente longas em relação à espessura e o parâmetro
é moderado. Mesmo assim as aletas aumentam muito a área efetiva total porque a área física das aletas é grande.
- Área total das aletas:
Área efetiva equivalente (aplicando eficiência):
- Área de tubo nua não ocupada por aletas:
- Área total do tubo (externa):
(já calculada). - Cada aleta ocupa axialmente uma largura igual a sua espessura
, portanto a área do tubo ocupada pelas bases das aletas é
Calculemos:
Assim a área livre do tubo que realmente está exposta (entre as bases) é
- Área externa eficaz total:
Passo 6
Cálculo do fluxo com aletas e comparação.
- Resistência externa com aletas:
Calculando:
-
Resistência interna permanece
-
Resistência total com aletas (desprezando condução na parede):
- Fluxo com aletas:
- Aumento percentual aproximado em relação ao caso sem aletas:
ou seja, um incremento de cerca de
no fluxo.