Exercício P.1.4.4. Um tubo horizontal de diâmetro 4^{\prime \prime} conduz um produto a 85^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 1230 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, tem 0,8 \mathrm{~m} de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 485 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1 / 8^{\prime \prime} de espessura e 2^{\prime \prime} de altura. Pede-se :
a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
b) o fluxo de calor pelo tubo aletado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei os números do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: d=4''=4\\ \text{polegadas}=0{,}1016\\ \mathrm{m}. Raio: r=\dfrac{d}{2}=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do produto (no interior): T_i=85^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película no interior: h_i=1230\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • O tubo é de aço com condutividade térmica k=40\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento do tubo: L=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Tanque de água: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película externo: h_o=485\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
  • Aletas: 1{,}5 aletas por centímetro de tubo.
  • Espessura da aleta: t_{\text{a}}=1/8''=0{,}003175\\ \mathrm{m}.
  • Altura da aleta (radial): L_{\text{a}}=2''=0{,}0508\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
(a) fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas;
(b) fluxo de calor pelo tubo quando possuir as aletas.
Observações importantes (decisões de modelo que vou usar):
  • O enunciado não dá espessura da parede do tubo. Vou assumir que o tubo é de parede fina, de modo que a resistência por condução através da parede é pequena comparada às resistências convectivas. Vou verificar numericamente que essa resistência é desprezível (faço essa verificação no passo seguinte).
  • Para as aletas circulares vou modelá‑las como aletas finas anelares (placas annulares). Para calcular a eficácia de uma aleta uso a aproximação de aleta retangular de espessura t_{\text{a}} e comprimento L_{\text{a}} com convecção em ambas as faces (fórmula padrão), e transformo a área real da aleta (anel) para efeito do cálculo da área eficaz.

Passo 2

Cálculo do fluxo sem aletas (metodologia e fórmulas).
Teoria rápida (sem pular passos):
  • O fluxo de calor estacionário é dado por
Q=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas em série: resistência por convecção interna, resistência por condução na parede do tubo (se não desprezada) e resistência por convecção externa:
R_{\text{total}}=R_i+R_{\text{cond}}+R_o.
  • Resistência convectiva interna:
R_i=\frac{1}{h_i A_i},
onde A_i é a área de troca interna. Para um tubo longo A_i=\pi d L (usando o diâmetro do fluido).
  • Resistência convectiva externa para o tubo liso (sem aletas):
R_o=\frac{1}{h_o A_o},
com A_o=\pi d L (para parede fina d_{\text{o}}\approx d_{\text{i}}=d).
  • Resistência de condução através da parede cilíndrica (se considerar) é
R_{\text{cond}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L}.
Como a espessura do tubo não foi dada, assumimos parede fina; porém vamos estimar R_{\text{cond}} supondo uma espessura típica pequena (por exemplo t_{\text{pared}}=1/8'') para verificar que é desprezível.
Cálculos numéricos (passo a passo):
  1. Área do tubo (interna/externa, assumindo parede fina):
A=\pi d L=\pi(0{,}1016)(0{,}8).
Calculemos:
A=\pi\cdot0{,}1016\cdot0{,}8\approx0{,}2553\\ \mathrm{m}^2.
  1. Resistências convectivas:
R_i=\frac{1}{h_i A}=\frac{1}{1230\cdot0{,}2553}\quad\text{e}\quad R_o=\frac{1}{h_o A}=\frac{1}{485\cdot0{,}2553}.
Calculando:
R_i\approx\frac{1}{314{,}02}\approx0{,}003184\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal},
R_o\approx\frac{1}{123{,}83}\approx0{,}008077\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  1. Verificação da resistência de condução (supondo espessura da parede t_{\text{pared}}=1/8''=0{,}003175\\ \mathrm{m} apenas para estimar):
r_i=r=0{,}0508\\ \mathrm{m},\qquad r_o=r_i+t_{\text{pared}}=0{,}053975\\ \mathrm{m},
R_{\text{cond}}=\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L} =\frac{\ln(0{,}053975/0{,}0508)}{2\pi\cdot40\cdot0{,}8}.
Calculando:
\ln(0{,}053975/0{,}0508)\approx\ln(1{,}0625)\approx0{,}0606,
2\pi k L=2\pi\cdot40\cdot0{,}8\approx201{,}06,
R_{\text{cond}}\approx\frac{0{,}0606}{201{,}06}\approx0{,}000301\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Observação: R_{\text{cond}} é pequeno diante de R_i+R_o (cerca de 2{,}7\%), portanto desprezá‑lo é razoável. Vou, para simplicidade e porque o enunciado não fornece espessura do tubo, neglectar R_{\text{cond}} nos cálculos finais (mas já verifiquei que seria pequeno).
  1. Assim R_{\text{total}}\approx R_i+R_o:
R_{\text{total}}\approx0{,}003184+0{,}008077=0{,}011261\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  1. Diferença de temperatura entre interior e água:
\Delta T=T_i-T_\infty=85-20=65^\circ\mathrm{C}.
  1. Fluxo sem aletas:
Q_{\text{sem}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{65}{0{,}011261}\approx5774\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 3

Interpretação e checagem do resultado do item (a).
  • Resultado obtido: Q_{\text{sem}}\approx5774\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Comentário prático: como h_i é bastante grande e h_o menor, a resistência externa domina; colocar aletas externas tende a reduzir significativamente a resistência externa e, portanto, aumentar Q. Vamos calcular isso no item (b).

Passo 4

Modelagem das aletas e das áreas (metodologia para o item b).
Princípios usados:
  • Cada aleta é uma chapa anelar (um anel circular) de espessura t_{\text{a}} e altura radial L_{\text{a}}. A área convectante de uma aleta (duas faces) é exatamente
A_{\text{a,real}}=2\pi\left(r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2\right),
onde r_{\text{in}}=r é o raio do tubo e r_{\text{out}}=r+L_{\text{a}} é o raio externo da aleta.
  • A eficiência de uma aleta fina de espessura t_{\text{a}}, comprimento L_{\text{a}} com convecção em ambas as faces usa o parâmetro m definido por (fórmula padrão para placa fina com convecção em duas faces)
m=\sqrt{\frac{2h_o}{k\,t_{\text{a}}}}.
A eficiência aproximada (aqui uso a forma padrão com ponta convectiva desprezada ou pequena correção; para mL moderado usa‑se)
\eta_{\text{a}}=\frac{\operatorname{tanh}(mL_{\text{a}})}{mL_{\text{a}}}.
Essa expressão é a forma prática e usual para aletas planas finas com convecção em ambas as faces.
  • A contribuição efetiva de cada aleta à área de troca é \eta_{\text{a}} A_{\text{a,real}}.
  • A área de tubo não coberta pelas aletas (área livre entre bases das aletas) também contribui como área nua (bare) A_{\text{bare}}. Cada aleta ocupa axialmente uma largura igual à sua espessura t_{\text{a}}. Assim:
A_{\text{bare}}=A_{\text{tubo}}-N\cdot(2\pi r\,t_{\text{a}}),
onde N é o número total de aletas.
  • O valor eficaz total da área externa é
A_{\text{ext,eficaz}}=A_{\text{bare}} + N\cdot\eta_{\text{a}}\;A_{\text{a,real}}.
  • A resistência externa então será R_o^{\text{(aletas)}}=1/(h_o A_{\text{ext,eficaz}}). A resistência interna permanece igual R_i calculada antes. Desprezamos novamente a condução através da parede.

Passo 5

Cálculos numéricos das aletas (passo a passo).
  1. Número de aletas:
  • 1{,}5 aletas por centímetro de tubo. O comprimento do tubo é L=0{,}8\\ \mathrm{m}=80\\ \mathrm{cm}.
N=1{,}5\cdot80=120\\ \text{aletas}.
  1. Geometria da aleta:
r_{\text{in}}=r=0{,}0508\\ \mathrm{m},\qquad r_{\text{out}}=r+L_{\text{a}}=0{,}0508+0{,}0508=0{,}1016\\ \mathrm{m}.
Área real de convecção (duas faces) de uma aleta:
A_{\text{a,real}}=2\pi\left(r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2\right) =2\pi(0{,}1016^2-0{,}0508^2).
Calculando:
0{,}1016^2=0{,}010323,\qquad 0{,}0508^2=0{,}002581,
A_{\text{a,real}}=2\pi(0{,}010323-0{,}002581)=2\pi(0{,}007742)\approx0{,}04863\\ \mathrm{m}^2\\ \text{(por aleta)}.
  1. Parâmetro m da aleta (usar h_o, pois a convecção relevante nas faces é com a água):
m=\sqrt{\frac{2h_o}{k\,t_{\text{a}}}} =\sqrt{\frac{2\cdot485}{40\cdot0{,}003175}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{2h_o}{k\,t_{\text{a}}}=\frac{970}{40\cdot0{,}003175}=\frac{970}{0{,}127}=7637{,}8,
m\approx\sqrt{7637{,}8}\approx87{,}43\\ \mathrm{m}^{-1}.
  1. Produto mL_{\text{a}}:
mL_{\text{a}}=87{,}43\cdot0{,}0508\approx4{,}442.
Tanh:
\operatorname{tanh}(4{,}442)\approx0{,}9997.
  1. Eficiência da aleta:
\eta_{\text{a}}=\frac{\operatorname{tanh}(mL_{\text{a}})}{mL_{\text{a}}}\approx\frac{0{,}9997}{4{,}442}\approx0{,}2251.
Comentário: essa eficiência relativamente baixa (≈22,5%) é típica quando as aletas são relativamente longas em relação à espessura e o parâmetro mL é moderado. Mesmo assim as aletas aumentam muito a área efetiva total porque a área física das aletas é grande.
  1. Área total das aletas:
A_{\text{a,total}}=N\cdot A_{\text{a,real}}=120\cdot0{,}04863\approx5{,}8356\\ \mathrm{m}^2.
Área efetiva equivalente (aplicando eficiência):
A_{\text{a,eficaz}}=N\cdot\eta_{\text{a}}\;A_{\text{a,real}} =120\cdot0{,}2251\cdot0{,}04863\approx1{,}313\\ \mathrm{m}^2.
  1. Área de tubo nua não ocupada por aletas:
  • Área total do tubo (externa): A_{\text{tubo}}=\pi d L\approx0{,}2553\\ \mathrm{m}^2 (já calculada).
  • Cada aleta ocupa axialmente uma largura igual a sua espessura t_{\text{a}}=0{,}003175\\ \mathrm{m}, portanto a área do tubo ocupada pelas bases das aletas é
A_{\text{bases}}=N\cdot(2\pi r\,t_{\text{a}}).
Calculemos:
2\pi r=2\pi\cdot0{,}0508\approx0{,}3192\\ \mathrm{m},
A_{\text{bases}}=120\cdot0{,}3192\cdot0{,}003175\approx0{,}1216\\ \mathrm{m}^2.
Assim a área livre do tubo que realmente está exposta (entre as bases) é
A_{\text{bare}}=A_{\text{tubo}}-A_{\text{bases}}\approx0{,}2553-0{,}1216=0{,}1337\\ \mathrm{m}^2.
  1. Área externa eficaz total:
A_{\text{ext,eficaz}}=A_{\text{bare}}+A_{\text{a,eficaz}} \approx0{,}1337+1{,}313=1{,}4467\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Cálculo do fluxo com aletas e comparação.
  1. Resistência externa com aletas:
R_o^{\text{(aletas)}}=\frac{1}{h_o A_{\text{ext,eficaz}}} =\frac{1}{485\cdot1{,}4467}.
Calculando:
485\cdot1{,}4467\approx702{,}0,
R_o^{\text{(aletas)}}\approx\frac{1}{702{,}0}\approx0{,}001424\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  1. Resistência interna permanece R_i\approx0{,}003184\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  2. Resistência total com aletas (desprezando condução na parede):
R_{\text{total}}^{\text{(aletas)}}=R_i+R_o^{\text{(aletas)}} \approx0{,}003184+0{,}001424=0{,}004608\\ \mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  1. Fluxo com aletas:
Q_{\text{com}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}^{\text{(aletas)}}} =\frac{65}{0{,}004608}\approx14105\\ \mathrm{kcal/h}.
  1. Aumento percentual aproximado em relação ao caso sem aletas:
\frac{Q_{\text{com}}}{Q_{\text{sem}}}\approx\frac{14105}{5774}\approx2{,}44,
ou seja, um incremento de cerca de 144\% no fluxo.

Resposta

Q_{\text{sem aletas}} \approx 5{,}77\times10^{3}\\ \mathrm{kcal/h}
Q_{\text{com aletas}} \approx 1{,}41\times10^{4}\\ \mathrm{kcal/h}

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