Exercício 4: Usando o exercício anterior, justifique a seguinte afirmação:
lim 3 n^7-2 n^6+5 n^3-2 n^2+n-15 n^7-8 n^3-3 n^2-9 n-1=35

Passo 1

Temos a sequência 3 n^7-2 n^6+5 n^3-2 n^2+n-15 n^7-8 n^3-3 n^2-9 n-1 e queremos calcular limntoinfty. Esse tipo de problema envolve limites de quocientes de polinômios, usando que, para ntoinfty, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^7. Assim, reescrevemos:
3 n^7-2 n^6+5 n^3-2 n^2+n-15 n^7-8 n^3-3 n^2-9 n-1=n^7l(3-2n^-1+5n^-4-2n^-5+n^-6-n^-7r)n^7l(5-8n^-4-3n^-5-9n^-6-n^-7r)=3-2n^-1+5n^-4-2n^-5+n^-6-n^-75-8n^-4-3n^-5-9n^-6-n^-7

Passo 3

Aplicando as propriedades de limite (soma e produto) e usando que limntoinftyn^-k=0 para todo k>0, obtemos: o numerador tende a 3 e o denominador tende a 5.

Passo 4

Pela propriedade de limite de quociente, o limite da razão é a razão dos limites obtidos.

Resposta

\tfrac{3}{5}

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