Obter o intervalo de convergência da série sum n2^n(x-1)^n+12.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n2^n,(x-1)^tfracn+12. O conteúdo principal é testar convergência de uma série que não é exatamente uma série de potências usual porque o expoente de x-1 é (n+1)/2. Vamos precisar reescrever a série usando uma mudança de variável e depois aplicar um teste de convergência (por exemplo, o teste da razão).

Passo 2

Para lidar com o expoente fracionário, definimos uma nova variável t por t=raizx-1. Assim, sempre que x-1>=0, temos (x-1)^(n+1)/2=t^,n+1. Reescrevendo a série em termos de t nos permite ter expoentes inteiros.
Substituindo temos
sumn=0^infty n2^n,(x-1)^tfracn+12 = sumn=0^infty n2^n,t^,n+1 = tsumn=0^infty n(t2)^n

Passo 3

Agora olhamos para a série sum n,r^n onde r=tfract2. Sabemos que ela converge se e somente se |r|<1. Logo
|t2|<1 Longrightarrow |t|<2

Passo 4

Como definimos t=raizx-1 e queremos termos reais, precisamos de x-1>=0, isto é x>=1. Além disso, |t|<2 vira
0<= t<2 Longrightarrow 0<= x-1<4 Longrightarrow 1<= x<5

Passo 5

Falta checar os extremos: para x=1, temos t=0 e a série fica nula, logo converge. Para x=5, temos t=2 e a soma tsum n( t/2)^n vira 2sum n, que diverge. Portanto, o intervalo de convergência, em R, é
[1,5)

Resposta

[1,5)

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