O enunciado pede o intervalo de convergência da série . O conteúdo principal é testar convergência de uma série que não é exatamente uma série de potências usual porque o expoente de é . Vamos precisar reescrever a série usando uma mudança de variável e depois aplicar um teste de convergência (por exemplo, o teste da razão).
Passo 2
Para lidar com o expoente fracionário, definimos uma nova variável por . Assim, sempre que , temos . Reescrevendo a série em termos de nos permite ter expoentes inteiros.
Substituindo temos
Passo 3
Agora olhamos para a série onde . Sabemos que ela converge se e somente se . Logo
Passo 4
Como definimos t=raizx-1 e queremos termos reais, precisamos de x-1>=0, isto é x>=1. Além disso, |t|<2 vira
Falta checar os extremos: para x=1, temos t=0 e a série fica nula, logo converge. Para x=5, temos t=2 e a soma tsum n( t/2)^n vira 2sum n, que diverge. Portanto, o intervalo de convergência, em R, é