Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam ( \mathbb{R},+, \cdot,< ) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Se x>0, então -x<0 e vice-versa;

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um corpo ordenado (\mathbb{R},+,\cdot,<), que
x>0\iff -x<0.
Para isso vamos usar os axiomas de corpo ordenado:
  1. Se a<b então a+c<b+c.
  2. Se a<b e c>0 então ac<bc.
  3. Se a<b e c<0 então ac>bc.
  4. Em particular, sabemos que 0<1 e que todo elemento tem inverso aditivo.

Passo 2

Mostramos primeiro que -1<0. Como 0<1 e a ordem é compatível com soma, somamos -1 em ambos os lados:
0+(-1)<1+(-1),
ou seja,
-1<0.

Passo 3

Agora provamos x>0\implies -x<0.
Como x>0 e -1<0, ao multiplicar a desigualdade x>0 por -1 (número negativo) a ordem inverte-se:
(-1)\cdot x<(-1)\cdot 0,
portanto
-x<0.

Passo 4

Para a recíproca, partimos de -x<0 e multiplicamos por -1 (negativo), invertendo novamente a ordem:
(-1)\cdot(-x)>(-1)\cdot 0,
isto é, x>0.

Resposta

Fica assim demonstrado que
x>0\iff -x<0.

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