Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (
) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Se
, então
e vice-versa;
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um corpo ordenado
, que
Para isso vamos usar os axiomas de corpo ordenado:
- Se
então . - Se
e então . - Se
e então . - Em particular, sabemos que
e que todo elemento tem inverso aditivo.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Como
e a ordem é compatível com soma, somamos
em ambos os lados:
ou seja,
Passo 3
Agora provamos
.
Como e
, ao multiplicar a desigualdade
por
(número negativo) a ordem inverte-se:
Como
portanto
Passo 4
Para a recíproca, partimos de
e multiplicamos por
(negativo), invertendo novamente a ordem:
isto é,
Resposta
Fica assim demonstrado que