Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam ( \mathbb{R},+, \cdot,< ) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Para todos x, y, \in \mathbb{R}, x(-y)=(-x) y=-(x y);

Passo 1

O enunciado pede para, em (\mathbb{R},+,\cdot,<) (um corpo ordenado), provar que para todos os x,y\in\mathbb{R} vale
x(-y)=(-x)y = -(xy).
Para isso vamos usar apenas axiomas de corpo: a existência de inverso aditivo (para cada a existe único -a tal que a+(-a)=0) e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Mostramos que x(-y) é o inverso aditivo de xy. Usando distributividade e o fato de (-y)+y=0, temos
x(-y)+xy = x\bigl((-y)+y\bigr) = x\cdot 0 = 0.
Logo x(-y) mais xy dá zero, o que quer dizer que
x(-y)=-(xy).

Passo 3

De forma análoga, mostramos que (-x)y é o inverso aditivo de xy. Como (-x)+x=0,
(-x)y + xy = \bigl((-x)+x\bigr)y = 0\cdot y = 0,
logo
(-x)y = -(xy).

Passo 4

Como ambos x(-y) e (-x)y coincidem com o inverso aditivo de xy, concluímos
x(-y) = -(xy) = (-x)y,
que é justamente o que queríamos provar.

Resposta

x(-y)=(-x)y=-(xy).

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