Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (
) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Para todos
;
Para todos
Passo 1
O enunciado pede para, em
(um corpo ordenado), provar que para todos os
vale
Para isso vamos usar apenas axiomas de corpo: a existência de inverso aditivo (para cada
existe único
tal que
) e a distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Mostramos que
é o inverso aditivo de
. Usando distributividade e o fato de
, temos
Logo
mais
dá zero, o que quer dizer que
Passo 3
De forma análoga, mostramos que
é o inverso aditivo de
. Como
,
logo
Passo 4
Como ambos
e
coincidem com o inverso aditivo de
, concluímos
que é justamente o que queríamos provar.