Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (
) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Para todos
;
Para todos
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado
, vale
para todos
. Vamos usar apenas as leis de corpo: existência de inverso aditivo, comutatividade e associatividade de
e
, e distributividade.
Passo 2
Primeiro mostro que
De fato, como
, multiplicando por
e usando distributiva,
Isto mostra que
é o inverso aditivo de
, ou seja
Passo 3
Agora uso a comutatividade de
para obter
Aplicando o resultado do passo 2 com
trocado por
e
por
, temos
Logo
Passo 4
Finalmente, para calcular
uso o caso do passo 2 tomando agora
e
:
Mas pelo passo 3
, então
E como o inverso do inverso aditivo retorna o elemento original, isto é
, segue