Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam ( \mathbb{R},+, \cdot,< ) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Para todos x, y, \in \mathbb{R},(-x)(-y)=x y;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado (\mathbb{R},+,\cdot,<), vale
(-x)(-y)=xy
para todos x,y\in\mathbb{R}. Vamos usar apenas as leis de corpo: existência de inverso aditivo, comutatividade e associatividade de + e \cdot, e distributividade.

Passo 2

Primeiro mostro que
x(-y)=-(xy).
De fato, como y+(-y)=0, multiplicando por x e usando distributiva,
x\,y + x\,(-y)=x\cdot0=0.
Isto mostra que x(-y) é o inverso aditivo de xy, ou seja
x(-y)=-(xy).

Passo 3

Agora uso a comutatividade de \cdot para obter
(-x)\,y = y\,(-x).
Aplicando o resultado do passo 2 com x trocado por y e y por x, temos
y(-x)=-(y\,x)=-(xy).
Logo
(-x)\,y=-(xy).

Passo 4

Finalmente, para calcular (-x)(-y) uso o caso do passo 2 tomando agora x\mapsto -x e y\mapsto y:
(-x)(-y)= -\bigl((-x)\,y\bigr).
Mas pelo passo 3 (-x)\,y=-(xy), então
(-x)(-y)= -\bigl(-(xy)\bigr).
E como o inverso do inverso aditivo retorna o elemento original, isto é -(-(xy))=xy, segue
(-x)(-y)=xy.

Resposta

(-x)(-y)=xy.

Exercícios relacionados