Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
, obtenha uma aproximação de
para
usando os métodos a seguir:
a) Método de Euler.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI
a) Método de Euler.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede uma aproximação de
usando o método de Euler com passo
.
Informações relevantes:
- Equação diferencial:
. Aqui a função do lado direito é . - Condição inicial:
, . - Passo:
. - Ponto onde queremos aproximar:
. - Cálculo do número de passos necessários:
passos.]
Passo 2
O método de Euler explícito usa a regra de avanço
Explicando cada símbolo:
-
é o ponto atual no eixo . -
é a aproximação de . -
é o comprimento do passo. -
é a função que define a derivada, aqui .
Ideia didática: o método aproxima a solução por segmentos de reta usando a inclinação dada pela equação diferencial no ponto atual. O erro global do método de Euler é proporcional a
(ou seja, diminuir
melhora a precisão, aproximadamente linearmente).
Passo 3
Vamos montar os dois passos necessários. Começamos com
O primeiro passo leva a
.
O segundo passo leva a , que é o ponto onde queremos a aproximação
.
O segundo passo leva a
Passo 4
Calcular o passo 1: precisamos de
.
Aplicando a fórmula de Euler:
Portanto
e
.
Passo 5
Calcular o passo 2: agora usamos
e
.
Aplicando Euler:
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos
.