Exercício 2.
(use 4 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=x-3 y \\\ y(1,2)=5\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(2) para h=0,4 usando os métodos a seguir:
a) Método de Euler.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y'(x)=x-3y,\\[4pt] y(1,2)=5, \end{cases}
e pede uma aproximação de y(2) usando o método de Euler com passo h=0,4.
Informações relevantes:
  • Equação diferencial: y'(x)=x-3y. Aqui a função do lado direito é f(x,y)=x-3y.
  • Condição inicial: x_0=1,2, y_0=5.
  • Passo: h=0,4.
  • Ponto onde queremos aproximar: x=2.
  • Cálculo do número de passos necessários: \dfrac{2-1,2}{0,4}=2 passos.]

Passo 2

O método de Euler explícito usa a regra de avanço
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
Explicando cada símbolo:
  • x_n é o ponto atual no eixo x.
  • y_n é a aproximação de y(x_n).
  • h é o comprimento do passo.
  • f(x,y) é a função que define a derivada, aqui f(x,y)=x-3y.
Ideia didática: o método aproxima a solução por segmentos de reta usando a inclinação dada pela equação diferencial no ponto atual. O erro global do método de Euler é proporcional a h (ou seja, diminuir h melhora a precisão, aproximadamente linearmente).

Passo 3

Vamos montar os dois passos necessários. Começamos com
x_0=1,2,\qquad y_0=5.
O primeiro passo leva a x_1=x_0+h=1,2+0,4=1,6.
O segundo passo leva a x_2=x_1+h=1,6+0,4=2,0, que é o ponto onde queremos a aproximação y(2).

Passo 4

Calcular o passo 1: precisamos de f(x_0,y_0).
f(1,2,5)=1,2-3\cdot5=1,2-15=-13,8.
Aplicando a fórmula de Euler:
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=5+0,4\cdot(-13,8)=5-5,52=-0,52.
Portanto x_1=1,6 e y_1=-0,52.

Passo 5

Calcular o passo 2: agora usamos x_1=1,6 e y_1=-0,52.
f(1,6,-0,52)=1,6-3\cdot(-0,52)=1,6+1,56=3,16.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=-0,52+0,4\cdot3,16=-0,52+1,264=0,744.
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos y_2=0,7440.

Resposta

y(2)\approx 0,7440

Exercícios relacionados