Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
O que é pedido: encontrar o valor numérico da integral indicada sobre a região
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As desigualdades em
impõem que . - As condições sobre
e garantem e . - Portanto
é a porção da esfera de raio no primeiro octante (ou seja, a bola unitária com ).
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas? Vou explicar com calma: na integral aparece o denominador
, que em coordenadas esféricas é simplesmente
. Além disso, a região
é uma bola de raio
cortada pelos planos coordenados (primeiro octante), o que dá limites angulares simples. Então coordenadas esféricas deixam a integral bem mais simples.
Definição e fórmulas essenciais das coordenadas esféricas (explico cada símbolo):
-
é a distância do ponto à origem: . -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para ). -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo (no sentido anti-horário).
As relações comsão:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve comentário didático sobre o jacobiano
: ele surge porque o volume de um “paralelepípedo” esférico de lados aproximadamente
,
e
é o produto desses comprimentos, dando
.
Passo 3
Converter o integrando e o elemento de volume:
- O integrando
vira . - Multiplicando pelo jacobiano temos
Ou seja, em coordenadas esféricas o integrando simplifica dramaticamente para
. Isso é ótimo porque elimina
do integrando.
Passo 4
Determinar os limites de integração em
correspondentes à região
:
- Como
está dentro da bola unitária, varia de até : . - Como
, temos variando do eixo para o plano : . - Como
e , o ângulo azimutal varia no primeiro quadrante do plano : .
Então os limites são independentes e simples:
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
Note que não há mais
no integrando, então a integral é separável em produtos de integrais simples.
Passo 6
Calcular a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando os três resultados:
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o cálculo ficou bem limpo por causa da escolha de coordenadas esféricas — o
do jacobiano cancelou exatamente com o
do integrando, sobrando apenas
. Essa é uma boa dica para a prova: quando o integrando depende só de
e a região é esférica (ou um pedaço dela), esféricas geralmente resolvem tudo rapidinho. Você foi bem!