Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
\iiint_{T} \frac{d V}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}, T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}, 0 \leq\right.\left.z \leq \sqrt{\left.1-x^{2}-y^{2}\right)}\right\}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T} \frac{dV}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)},
onde a região T é dada por
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le \sqrt{1-x^{2}},\;0\le z\le \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\}.
O que é pedido: encontrar o valor numérico da integral indicada sobre a região T.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As desigualdades em x,y,z impõem que x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
  • As condições sobre y e z garantem x^{2}+y^{2}\le 1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1.
  • Portanto T é a porção da esfera de raio 1 no primeiro octante (ou seja, a bola unitária \{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\} com x,y,z\ge0).

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas? Vou explicar com calma: na integral aparece o denominador x^{2}+y^{2}+z^{2}, que em coordenadas esféricas é simplesmente \rho^{2}. Além disso, a região T é uma bola de raio 1 cortada pelos planos coordenados (primeiro octante), o que dá limites angulares simples. Então coordenadas esféricas deixam a integral bem mais simples.
Definição e fórmulas essenciais das coordenadas esféricas (explico cada símbolo):
  • \rho é a distância do ponto à origem: \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo (no sentido anti-horário).
    As relações com x,y,z são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Breve comentário didático sobre o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: ele surge porque o volume de um “paralelepípedo” esférico de lados aproximadamente d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta é o produto desses comprimentos, dando \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Converter o integrando e o elemento de volume:
  • O integrando 1/(x^{2}+y^{2}+z^{2}) vira 1/\rho^{2}.
  • Multiplicando pelo jacobiano temos
\frac{1}{\rho^{2}}\cdot \rho^{2}\sin\varphi = \sin\varphi.
Ou seja, em coordenadas esféricas o integrando simplifica dramaticamente para \sin\varphi. Isso é ótimo porque elimina \rho do integrando.

Passo 4

Determinar os limites de integração em \rho,\varphi,\theta correspondentes à região T:
  • Como T está dentro da bola unitária, \rho varia de 0 até 1: 0\le \rho\le 1.
  • Como z\ge 0, temos \varphi variando do eixo +z para o plano xy: 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2}.
  • Como x\ge 0 e y\ge 0, o ângulo azimutal \theta varia no primeiro quadrante do plano xy: 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Então os limites são independentes e simples:
0\le \rho\le 1,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
\iiint_{T}\frac{dV}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{1} \sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Note que não há mais \rho no integrando, então a integral é separável em produtos de integrais simples.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{1} d\rho = 1.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi\, d\varphi = [-\cos\varphi]_{0}^{\pi/2} = -\cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos(0)=0+1=1.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando os três resultados:
1\cdot 1\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o cálculo ficou bem limpo por causa da escolha de coordenadas esféricas — o \rho^{2} do jacobiano cancelou exatamente com o \rho^{-2} do integrando, sobrando apenas \sin\varphi. Essa é uma boa dica para a prova: quando o integrando depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2} e a região é esférica (ou um pedaço dela), esféricas geralmente resolvem tudo rapidinho. Você foi bem!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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