Exercício 4. Seja T o sólido limitado pelo elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1. Avaliar:
\iiint_{T} x^{2} y d V.

Passo 1

O enunciado dá o sólido T limitado pelo elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
e pede para avaliar a integral triple
\iiint_{T} x^{2}y\,dV.
Informações relevantes:
  • A região T é o interior do elipsoide acima (inclui todos os pontos (x,y,z) que satisfazem a desigualdade correspondente).
  • A função integranda é f(x,y,z)=x^{2}y.
O que nos pedem: calcular \displaystyle \iiint_{T} x^{2}y\,dV.

Passo 2

Observação sobre simetria (ideia principal que simplifica demais a conta).
Explique comigo: uma função é chamada de "ímpar em y" se, trocando y por -y, ela muda de sinal. Aqui, para qualquer ponto (x,y,z),
f(x,-y,z)=x^{2}(-y)=-x^{2}y = -f(x,y,z),
ou seja, f é ímpar em y. Já a região T (o elipsoide) é simétrica em relação ao plano y=0: se (x,y,z)\in T então (x,-y,z)\in T (porque a equação do elipsoide envolve y^{2}, que não muda com o sinal de y).
Esse par de fatos (integrando uma função ímpar em y sobre uma região simétrica em y) costuma levar à integral zero por cancelamento entre pontos simétricos. Vou demonstrar isso formalmente no próximo passo.

Passo 3

Demonstração do cancelamento por pares (passo a passo, sem pular etapas).
Divida a região T em duas partes simétricas:
T_{+}=\{(x,y,z)\in T \mid y\ge0\},\qquad T_{-}=\{(x,y,z)\in T \mid y\le0\}.
Cada ponto (x,y,z)\in T_{+} tem o ponto correspondente (x,-y,z)\in T_{-}. Para um par de pontos assim, os valores da integranda somam:
f(x,y,z)+f(x,-y,z)=x^{2}y + x^{2}(-y)=0.
Ao integrar sobre todo T podemos escrever
\iiint_{T} x^{2}y\,dV = \iiint_{T_{+}} x^{2}y\,dV + \iiint_{T_{-}} x^{2}y\,dV.
Mudando de variável no segundo integral usando (x,y,z)\mapsto(x,-y,z) (mapeamento que preserva o volume infinitesimal em valor absoluto) mostra-se que
\iiint_{T_{-}} x^{2}y\,dV = -\iiint_{T_{+}} x^{2}y\,dV,
logo os dois termos se cancelam e a integral total é zero. Esse é o argumento clássico de simetria.

Passo 4

Alternativa (confirmatória) via mudança de variável para a bola unidade — só para reforçar e mostrar outra técnica útil na prova.
Faça a transformação linear
x = a u,\qquad y = b v,\qquad z = c w.
O jacobiano dessa transformação tem módulo |J|=abc. A região T transforma-se na bola unidade
B=\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\}.
A integral fica
\iiint_{T} x^{2}y\,dV = \iiint_{B} (a^{2}u^{2})(b v)\,(abc)\,du\,dv\,dw = a^{3}b^{2}c \iiint_{B} u^{2}v\,du\,dv\,dw.
Mas a função u^{2}v é ímpar em v e a bola B é simétrica em v\mapsto -v; portanto \displaystyle \iiint_{B} u^{2}v\,du\,dv\,dw=0. Assim, a integral vale zero também por esse caminho — consistente com o argumento anterior.

Passo 5

Conclusão e observação final.
Pelo argumento de simetria (ou pela mudança de variável para a bola unitária), a integral se anula por ser a integral de uma função ímpar em y sobre uma região simétrica em y. Isso evita qualquer cálculo pesado: o valor é zero. Vai dar tudo certo na prova — usar simetrias é uma ótima estratégia quando o tempo é curto!

Resposta

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