Exercício 4. Seja
o sólido limitado pelo elipsoide
. Avaliar:
.
Passo 1
O enunciado dá o sólido
limitado pelo elipsoide
e pede para avaliar a integral triple
Informações relevantes:
- A região
é o interior do elipsoide acima (inclui todos os pontos que satisfazem a desigualdade correspondente). - A função integranda é
.
O que nos pedem: calcular
.
Passo 2
Observação sobre simetria (ideia principal que simplifica demais a conta).
Explique comigo: uma função é chamada de "ímpar em
" se, trocando
por
, ela muda de sinal. Aqui, para qualquer ponto
,
ou seja,
é ímpar em
. Já a região
(o elipsoide) é simétrica em relação ao plano
: se
então
(porque a equação do elipsoide envolve
, que não muda com o sinal de
).
Esse par de fatos (integrando uma função ímpar em
sobre uma região simétrica em
) costuma levar à integral zero por cancelamento entre pontos simétricos. Vou demonstrar isso formalmente no próximo passo.
Passo 3
Demonstração do cancelamento por pares (passo a passo, sem pular etapas).
Divida a região
em duas partes simétricas:
Cada ponto
tem o ponto correspondente
. Para um par de pontos assim, os valores da integranda somam:
Ao integrar sobre todo
podemos escrever
Mudando de variável no segundo integral usando
(mapeamento que preserva o volume infinitesimal em valor absoluto) mostra-se que
logo os dois termos se cancelam e a integral total é zero. Esse é o argumento clássico de simetria.
Passo 4
Alternativa (confirmatória) via mudança de variável para a bola unidade — só para reforçar e mostrar outra técnica útil na prova.
Faça a transformação linear
O jacobiano dessa transformação tem módulo
. A região
transforma-se na bola unidade
A integral fica
Mas a função
é ímpar em
e a bola
é simétrica em
; portanto
. Assim, a integral vale zero também por esse caminho — consistente com o argumento anterior.
Passo 5
Conclusão e observação final.
Pelo argumento de simetria (ou pela mudança de variável para a bola unitária), a integral se anula por ser a integral de uma função ímpar em
sobre uma região simétrica em
. Isso evita qualquer cálculo pesado: o valor é zero. Vai dar tudo certo na prova — usar simetrias é uma ótima estratégia quando o tempo é curto!