Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Pede calcular a integral tripla
sobre o conjunto
- Informações importantes dadas pelo enunciado:
- As projeções em
e indicam que está no primeiro quadrante com (porque e ). - Para cada ponto
dessa região do plano, varia entre (uma superfície cônica que satisfaz ) e (a superfície superior da esfera de raio centrada na origem, pois ). - O integrando é
.
- As projeções em
Passo 2
O que são coordenadas esféricas e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e úteis).
-
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
, , : -
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo entre o raio vetor e o eixo positivo (ou seja, é o ângulo colatitude, ). -
é o ângulo azimutal no plano , contado a partir do eixo positivo (ou seja, varia normalmente em ).
-
-
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
- A função
em esféricas fica simplesmente
Isto porque
por definição.
- O elemento de volume (jacobiano) é
- Assim, o integrando combinado com
passa a ser .
Passo 3
Determinar os limites de integração em esféricas, traduzindo cada condição do enunciado.
- A condição
e significa que estamos no primeiro quadrante do plano . Em termos de , isso corresponde a
(Recorde:
é o eixo
positivo;
é o eixo
positivo.)
- A condição inferior para
é . Em coordenadas polares/cilíndricas isso é onde . Em esféricas:
A desigualdade
torna-se
Como
dentro da região (único ponto possível
não cria problemas), isso é equivalente a
Portanto o ângulo polar
fica entre
e
; geometricamente, a superfície
é um cone formando o ângulo
com o eixo
.
- A condição superior para
é . Elevando ao quadrado, isso é , ou seja
Portanto
vai de
até
.
- Resumo dos limites encontrados:
-
de a . -
de a . -
de a .
-
(Isto descreve o setor esférico dentro da esfera de raio
, no primeiro quadrante do eixo
, limitado pela superfície cônica
.)
Passo 4
Montar a integral tripla em coordenadas esféricas usando os limites.
- Substituindo o integrando e o jacobiano, a integral fica
Passo 5
Calcular a integral em
(a mais interna).
- A integral em
é
- Logo a integral total reduz para
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Temos
- Então passa a ser
Passo 7
Calcular a integral em
e simplificar o resultado final.
- A integral em
é trivial:
- Multiplicando tudo:
- Simplificando um pouco a expressão:
portanto
Passo 8
Comentário final rápido e incentivo.
- Pronto! A integral ficou bem factorizada graças à simetria esférica: usar esféricas transformou
em e o volume em , levando a uma integral que separa em partes simples. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!