Exercício 3. Use coordenadas esféricas para calcular:
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V, T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq\right.\left.y \leq 2, \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq \sqrt{\left.4-x^{2}-y^{2}\right)}\right\}\

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede calcular a integral tripla
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV
sobre o conjunto
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0\le x\le\sqrt{4-y^{2}},\; 0\le y\le 2,\; \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z\le \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\}.
  • Informações importantes dadas pelo enunciado:
    • As projeções em x e y indicam que (x,y) está no primeiro quadrante com x^2+y^2\le 4 (porque x\le\sqrt{4-y^2} e 0\le y\le 2).
    • Para cada ponto (x,y) dessa região do plano, z varia entre z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (uma superfície cônica que satisfaz z=r) e z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} (a superfície superior da esfera de raio 2 centrada na origem, pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=4).
    • O integrando é x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 2

O que são coordenadas esféricas e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e úteis).
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho, \varphi, \theta:
    • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0).
    • \varphi é o ângulo entre o raio vetor e o eixo z positivo (ou seja, \varphi é o ângulo colatitude, 0\le\varphi\le\pi).
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, contado a partir do eixo x positivo (ou seja, \theta varia normalmente em [0,2\pi)).
  • As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • A função x^{2}+y^{2}+z^{2} em esféricas fica simplesmente
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Isto porque \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} por definição.
  • O elemento de volume (jacobiano) é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Assim, o integrando combinado com dV passa a ser \rho^{2}\cdot(\rho^{2}\sin\varphi)=\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 3

Determinar os limites de integração em esféricas, traduzindo cada condição do enunciado.
  • A condição 0\le x e 0\le y significa que estamos no primeiro quadrante do plano xy. Em termos de \theta, isso corresponde a
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
(Recorde: \theta=0 é o eixo x positivo; \theta=\pi/2 é o eixo y positivo.)
  • A condição inferior para z é z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares/cilíndricas isso é z\ge r onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas:
z=\rho\cos\varphi,\qquad r=\rho\sin\varphi.
A desigualdade z\ge r torna-se
\rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi.
Como \rho>0 dentro da região (único ponto possível \rho=0 não cria problemas), isso é equivalente a
\cos\varphi\ge\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4}.
Portanto o ângulo polar \varphi fica entre 0 e \pi/4; geometricamente, a superfície z=r é um cone formando o ângulo \varphi=\pi/4 com o eixo z.
  • A condição superior para z é z\le\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}. Elevando ao quadrado, isso é z^{2}+x^{2}+y^{2}\le 4, ou seja
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad \rho^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad 0\le\rho\le 2.
Portanto \rho vai de 0 até 2.
  • Resumo dos limites encontrados:
    • \theta de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
    • \varphi de 0 a \tfrac{\pi}{4}.
    • \rho de 0 a 2.
(Isto descreve o setor esférico dentro da esfera de raio 2, no primeiro quadrante do eixo xy, limitado pela superfície cônica \varphi=\pi/4.)

Passo 4

Montar a integral tripla em coordenadas esféricas usando os limites.
  • Substituindo o integrando e o jacobiano, a integral fica
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{2} \rho^{4}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \rho (a mais interna).
  • A integral em \rho é
\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
  • Logo a integral total reduz para
\frac{32}{5}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi.
  • Temos
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/4}= -\cos\frac{\pi}{4} + \cos 0 = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Então passa a ser
\frac{32}{5}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\int_{0}^{\pi/2} d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e simplificar o resultado final.
  • A integral em \theta é trivial:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta=\frac{\pi}{2}.
  • Multiplicando tudo:
\frac{32}{5}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{16\pi}{5}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Simplificando um pouco a expressão:
1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2},
portanto
\frac{16\pi}{5}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{8\pi}{5}\,(2-\sqrt{2}).

Passo 8

Comentário final rápido e incentivo.
  • Pronto! A integral ficou bem factorizada graças à simetria esférica: usar esféricas transformou x^2+y^2+z^2 em \rho^2 e o volume em \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, levando a uma integral que separa em partes simples. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

\dfrac{8\pi}{5}\,(2-\sqrt{2})

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