Exercício 1.5 Use as equações de transformação de Lorentz para provar que o intervalo de espaço-tempo (\Delta S)^{2} entre dois eventos é invariante de Lorentz, o que significa que tem o mesmo valor para todos os referenciais inerciais possíveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas medidas de separação entre eventos em dois referenciais inerciais S e S' em movimento relativo com velocidade v ao longo do eixo x, o intervalo de espaço-tempo definido por
(\Delta S)^{2} = c^{2}(\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2} - (\Delta y)^{2} - (\Delta z)^{2}
é o mesmo em S e em S'. O conteúdo aqui é usar as transformações de Lorentz para diferenças de coordenadas e verificar que
(\Delta S')^{2} = (\Delta S)^{2}.

Passo 2

Escrevemos as transformações de Lorentz para as diferenças de coordenadas entre dois eventos, assumindo movimento relativo ao longo de x:
\Delta x' = \gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr), \quad \Delta t' = \gamma\bigl(\Delta t - \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x\bigr), \quad \Delta y' = \Delta y, \quad \Delta z' = \Delta z,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.

Passo 3

Agora definimos o intervalo no referencial S':
(\Delta S')^{2} = c^{2}(\Delta t')^{2} - (\Delta x')^{2} - (\Delta y')^{2} - (\Delta z')^{2}.
Substituímos \Delta x' e \Delta t':
(\Delta S')^{2} = c^{2}\bigl[\gamma\bigl(\Delta t - \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x\bigr)\bigr]^{2} - \bigl[\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr)\bigr]^{2} - (\Delta y)^{2} - (\Delta z)^{2}.

Passo 4

Expandimos e agrupamos os termos de \Delta t e \Delta x. Primeiro isolar o fator \gamma^{2}:
(\Delta S')^{2} = \gamma^{2}\Bigl[c^{2}\bigl(\Delta t - \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x\bigr)^{2} - \bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr)^{2}\Bigr] - (\Delta y)^{2} - (\Delta z)^{2}.
Agora expandimos o colchete:
c^{2}\bigl(\Delta t - \tfrac{v}{c^{2}}\Delta x\bigr)^{2} = c^{2}(\Delta t)^{2} - 2v\,\Delta x\,\Delta t + \tfrac{v^{2}}{c^{2}}(\Delta x)^{2},
(\Delta x - v\,\Delta t)^{2} = (\Delta x)^{2} - 2v\,\Delta x\,\Delta t + v^{2}(\Delta t)^{2}.
Subtraindo:
c^{2}(\Delta t)^{2} - 2v\,\Delta x\,\Delta t + \tfrac{v^{2}}{c^{2}}(\Delta x)^{2} \;-\; \bigl[(\Delta x)^{2} - 2v\,\Delta x\,\Delta t + v^{2}(\Delta t)^{2}\bigr] = c^{2}(\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2} - v^{2}(\Delta t)^{2} + \tfrac{v^{2}}{c^{2}}(\Delta x)^{2}.
Agrupando:
= \bigl(c^{2} - v^{2}\bigr)(\Delta t)^{2} - \Bigl(1 - \tfrac{v^{2}}{c^{2}}\Bigr)(\Delta x)^{2}.
Como \gamma^{2} = 1/(1 - v^{2}/c^{2}), multiplicamos por \gamma^{2}:
\gamma^{2}\Bigl[(c^{2}-v^{2})(\Delta t)^{2} - \bigl(1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr)(\Delta x)^{2}\Bigr] = c^{2}(\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2}.
Logo
(\Delta S')^{2} = c^{2}(\Delta t)^{2} - (\Delta x)^{2} - (\Delta y)^{2} - (\Delta z)^{2} = (\Delta S)^{2}.

Resposta

Mostramos que (\Delta S')^{2} = (\Delta S)^{2}. Portanto, o intervalo de espaço-tempo é invariante de Lorentz.

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