Exercício 1.5 Use as equações de transformação de Lorentz para provar que o intervalo de espaço-tempo
entre dois eventos é invariante de Lorentz, o que significa que tem o mesmo valor para todos os referenciais inerciais possíveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas medidas de separação entre eventos em dois referenciais inerciais
e
em movimento relativo com velocidade
ao longo do eixo
, o intervalo de espaço-tempo definido por
é o mesmo em
e em
. O conteúdo aqui é usar as transformações de Lorentz para diferenças de coordenadas e verificar que
Passo 2
Escrevemos as transformações de Lorentz para as diferenças de coordenadas entre dois eventos, assumindo movimento relativo ao longo de
:
onde
Passo 3
Agora definimos o intervalo no referencial
:
Substituímos
e
:
Passo 4
Expandimos e agrupamos os termos de
e
. Primeiro isolar o fator
:
Agora expandimos o colchete:
Subtraindo:
Agrupando:
Como
, multiplicamos por
:
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Resposta
Mostramos que
. Portanto, o intervalo de espaço-tempo é invariante de Lorentz.