Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de “estado estacionário”).
(Corda Dedilhada)
Passo 1
O enunciado pede a solução da corda dedilhada, que obedece à equação da onda
utt = c^2,uxx, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= ha,x,&0<= x<= a, h,L-xL-a,&a<= x<= L
O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier em senos.
Passo 2
Assumimos a forma separável ,u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE e dividindo por c^2X(x)T(t) dá
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Então obtemos as ODEs
X''+lambda X=0, T''+c^2lambda T=0
Passo 3
As condições X(0)=X(L)=0 levam a autovalores lambdan=(tfracnpiL)^2 e autofunções ,Xn(x)=sin(tfracnpi xL),;n=1,2,dots.
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