Exercício 3.1. Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de “estado estacionário”).
(Corda Dedilhada)
ll ut t=c^2 ux x & se 0<x<L e t>0, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L, ut(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L, com f(x)= ha x & se 0 <= x <= a, h L-xL-a & se a <= x <= L

Passo 1

O enunciado pede a solução da corda dedilhada, que obedece à equação da onda
utt = c^2,uxx, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= ha,x,&0<= x<= a, h,L-xL-a,&a<= x<= L
O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier em senos.

Passo 2

Assumimos a forma separável
,u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE e dividindo por c^2X(x)T(t)
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Então obtemos as ODEs
X''+lambda X=0, T''+c^2lambda T=0

Passo 3

As condições X(0)=X(L)=0 levam a autovalores
lambdan=(tfracnpiL)^2 e autofunções
,Xn(x)=sin(tfracnpi xL),;n=1,2,dots.
Logo
Tn(t)=Ancosl(tfracnpi c,tLr)+Bnsinl(tfracnpi c,tLr),
e a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(tfracnpi c,tL)+Bnsin(tfracnpi c,tL)r)sin(tfracnpi xL)

Passo 4

Da condição inicial ut(x,0)=0 segue Bn=0.
De u(x,0)=f(x) vem
sumn=1^infty Ansin(tfracnpi xL)=f(x),
logo os coeficientes são
An=2Lintegral0^Lf(x),sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 5

Calculando a integral em duas partes (de 0 a a e de a a L) e usando que sin(npi)=0, chega-se a
integral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx =hLa(L-a);sin(tfracnpi aL)(tfracnpiL)^2 =hL^3a(L-a),n^2pi^2,sin!l(tfracnpi aLr)
Logo
An=2L,hL^3a(L-a),n^2pi^2,sin!l(tfracnpi aLr) =2hL^2a(L-a),n^2pi^2,sin!l(tfracnpi aLr)

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty 2hL^2a(L-a),n^2pi^2,sin!l(tfracnpi aLr) cos!l(tfracnpi c,tLr) ;sin!l(tfracnpi xLr)

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